https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2025/05

2025.03.03記

[5] (1) 関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3}$ （ $t\neq0$ ）
の増減を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)実数 $x$ ， $y$ ， $z$ が，条件
$\left\{ \begin{array}{l} x\lt y\lt z\\ xyz\neq0\\ x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3\\ x^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3 \end{array} \right.$
を満たしながら動くとき， $x$ が取り得る値の範囲を求めよ．

2025.03.04記

[解答]
(1) 奇関数 $f(t)=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^3}$ について
$f'(t)=-\dfrac{1}{t^2}+3\dfrac{1}{t^4}$ $=\dfrac{3-t^2}{t^4}$
となる．よって $t\gt 0$ における増減表は

$t$	$(0)$	$\cdots$	$\sqrt{3}$	$\cdots$	$(\infty)$
$f'$		$+$	$0$	$-$
$f$	$(-\infty)$	$\nearrow$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$	$\searrow$	$(0)$

となる．これを図示すれば良い．

(2) 条件は $\left\{ \begin{array}{l} x\lt y\lt z\\ xyz\neq0\\ f(x)=f(y)=f(z) \end{array} \right.$
であるから， $s=f(t)$ と $s=k$ が相異なる3点で交わるときの最小の解のとり得る値の範囲を求めれば良い． $k=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ のときの交点の $t$ 座標で $\sqrt{3}$ と異なるものを $\alpha$ とすると $kt^3-t^2+1=0$ の解と係数の関係から $\alpha+2\sqrt{3}=\dfrac{9}{2\sqrt{3}}$ となり $\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるので，(1)のグラフから　 $x\lt -\sqrt{3}$ ， $-1\lt x\lt -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる．