https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2025/04

2025.03.03記

[4]数列 $\{a_n\}$ を
$a_1=a_2=1$
$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ （ $n=1，2，3，\ldots$ ）
により定め，数列 $\{b_n\}$ を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める．ただし，
$0\lt b_n\lt \dfrac{\pi}{2}$ であるものとする．

(1) $n\geqq2$ に対して， $a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2$ を求めよ．

(2) $m\geqq1$ （ $m$ は整数）に対して， $a_{2m}\cdot\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$ を求めよ．

(3) 無限級数 $\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}b_{2m+1}$ を求めよ．

本問のテーマ

カッシーニ-シムソンの定理（フィボナッチ数列）

2025.03.04記
$\tan$ とフィボナッチ数列の関係は非常に有名で，本問は2013年京都府立医科大学[2]とほとんど同じ問題である．

[解答]
(1) $a_{n+2}a_{n}-a_{n+1}^2$ $=(a_{n+1}+a_{n})a_{n}-a_{n+1}^2$ $=a_n^2+a_{n+1}(a_{n}-a_{n+1})$ $=a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}$ $=(-1)(a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2)$
が $n\geqq 2$ で成立するので，
$a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2$ $=(-1)^{n-2}(a_{3}a_{1}-a_2^2)$ $=(-1)^{n-2}(2-1)$ $=(-1)^{n-2}$ $=(-1)^{n}$
が $n\geqq 2$ で成立する．

(2) $a_{2m}\cdot\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$ $=a_{2m}\cdot\dfrac{\tan b_{2m+1}+\tan b_{2m+2}}{1-\tan b_{2m+1}+\tan b_{2m+2}}$ $=a_{2m}\cdot\dfrac{a_{2m+2}+a_{2m+1}}{a_{2m+1}a_{2m+2}-1}$ $=\dfrac{a_{2m}a_{2m+2}+a_{2m}a_{2m+1}}{a_{2m+1}a_{2m+2}-1}$ $=\dfrac{a_{2m+1}^2+(-1)^{2m+1}+a_{2m}a_{2m+1}}{a_{2m+1}(a_{2m+1}+a_{2m})-1}$ $=1$
となる．

(3) (2) より $\tan b_{2m}=\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$ であり，
$0\lt \tan b_{2m}\leqq 1$ ， $0\lt \tan b_{2m+1}\leqq \dfrac{1}{2}$ ， $0\lt \tan b_{2m+2}\leqq \dfrac{1}{3}$ ，
から
$0\lt b_{2m}\leqq\dfrac{\pi}{4}$ ， $0\lt b_{2m+1}\lt\dfrac{\pi}{4}$ ， $0\lt b_{2m+2}\lt\dfrac{\pi}{4}$ ，
となり， $0\lt b_{2m+1}+b_{2m+2}\lt\dfrac{\pi}{2}$ であるから， $b_{2m}=b_{2m+1}+b_{2m+2}$ が成立する．
よって
$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}b_{2m+1}$ $=b_1+\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}b_{2m+1}$ $=b_1+\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}(b_{2m}-b_{2m+2})$ $=b_1+b_2-\displaystyle\lim_{m\to\infty}b_{2m+2}$
となる． $\displaystyle\lim_{m\to\infty}a_{2m+2}=+\infty$ だから，

注） $a_n$ は単調増加の自然数列だから無限大に発散することは明らかとして良いと思うが，示せと言われれば $a_n\geqq n-1$ などを用いれば良い

$\displaystyle\lim_{m\to\infty}b_{2m+2}=0$ となるので，
$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}b_{2m+1}$ $=b_1+b_2$ $=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}$ $=\dfrac{\pi}{2}$
となる．

2025.06.21記
自然数 $a，b，c$ （ $a\lt b\lt c$ ， $c=a+b$ ）が
$\mbox{Arctan}\,\dfrac{1}{a}$ $=\mbox{Arctan}\,\dfrac{1}{b}+\mbox{Arctan}\,\dfrac{1}{c}$
を満たすとき，フィボナッチ数列 $F_n$ （ $F_1=F_2=1$ ）を用いて
$a=F_{2n}$ ， $b=F_{2n+1}$ ， $c=F_{2n+2}$
と書ける．

というのも $a=\dfrac{bc-1}{b+c}$ ， $c=a+b$ から
$b=\dfrac{a+\sqrt{5a^2+4}}{2}$
となるので，ペル方程式 $x^2-5y^2=4$ の自然数解
$\dfrac{x+y\sqrt{5}}{2}=\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n$
$=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n}$
を用いて
$a=y$ ， $b=\dfrac{x+y}{2}$
と表されるので， $a=F_{2n}$ ， $b=F_{2n+1}$ となるからである．

$a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2=(-1)^n$ をシムソンの定理（カッシーニ-シムソンの定理，シムソン-カッシーニの定理とも言う）．