https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2025/03

2025.03.03記

[3] $0\lt p\lt 1$ とする．表が出る確率が $p$ ，裏が出る確率が $1-p$ である1枚のコインを使って次のゲームを行う．

・ゲームの開始段階では点数は0点．

・コインを投げ続け，表が出るごとに1点加算し，裏が出たときは点数はそのまま．

・2回続けて裏が出たらゲームは終了．

0以上の整数 $n$ に対し，ゲームが終わったときに $n$ 点となっている確率を $Q_n$ とする．

(1) $Q_1$ ， $Q_2$ を $p$ を用いて表せ．

(2) $Q_n$ を $n$ と $p$ を用いて表せ．

(3) $0\lt x\lt 1$ を満たす実数 $x$ に対して次式が成り立つことを示せ．
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば $0\lt x\lt 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx^n=0$ であることを証明なしで使ってもよい．

(4) 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nQ_n$ を $p$ を用いて表せ．

2025.03.04記

[解答]
表を1，裏を0に対応させ，例えば表，表，裏，表の順に出たことを $1101$ で表すことにする．

(1) 1点で終了するのは $100$ ， $0100$ の2通りだから　 $Q_1=p(2-p)(1-p)^2$ となる．

2点で終了するのは
$1(1)00$ ， $01(1)00$ ，
$1(01)00$ ， $01(01)00$
の4通りだから $Q_2=Q_1\times \{p+(1-p)p\}$ $=p(2-p)Q_1$ $=p^2(2-p)^2(1-p)^2$ となる．

(2) (1)と同様にして，最後の $1$ の後に $1$ または $01$ を挿入すれば良いので，
$Q_{n}=p(2-p)Q_{n-1}$ （ $n=2，3，…$ ）
が成立するので
$Q_n=p^n(2-p)^n(1-p)^2$ となる．

(3) $\displaystyle\sum_{n=0}^{k} x^{n+1}$ $=\dfrac{x^{k+2}-x}{x-1}$
の両辺を $x$ で微分すると
$\displaystyle\sum_{n=0}^{k}(n+1)x^{n}$ $=\dfrac{\{(k+2)x^{k+1}-1\}(x-1)-x^{k+2}+x}{(x-1)^2}$
が成立する． $0\lt x\lt 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx^n=0$
であるから，
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}$ $=\dfrac{(0-1)(x-1)-0+x}{(x-1)^2}$ $=\dfrac{1}{(x-1)^2}$ $=\dfrac{1}{(1-x)^2}$
となる．

(4) $\displaystyle\sum_{n=0}^{k} x^{n}$ $=\dfrac{x^{k+1}-1}{x-1}$ から $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$ $=\dfrac{1}{1-x}$ も成立する．

$0\lt p\lt 1$ で $0\lt X=p(2-p)\lt 1$ であり， $Q_n=X^n(1-X)$ であるから，
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nQ_n$ $=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nX^n(1-X)$ $=(1-X)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1-1)X^n$ $=(1-X)\left(\dfrac{1}{(1-X)^2}-\dfrac{1}{1-X}\right)$ $=\dfrac{1}{1-X}-1$ $=\dfrac{X}{1-X}$ $=\dfrac{p(2-p)}{(1-p)^2}$
となる．