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2025.03.03記

[1] 関数 $f(x)$ を $x\geqq 0$ に対して $f(x)=x\log(1+x)$ と定める．

(1) 不定積分 $\displaystyle\int x\log(1+x)dx$ を求めよ．

(2) $y=f(x)$ （ $x\geqq0$ ）の逆関数を $y=g(x)$ （ $x\geqq0$ ）とする．また $a，b$ を $g(a)=1$ ， $g(b)=2$ なる実数とする．このとき定積分
$I=\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx$
の値を求めよ．

(3) 関数 $P(x)$ を $x\geqq0$ に対して $P(x)=\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+f(t)}dt$ と定める．このとき $y=P(x)$ について，定義域を $x\geqq0$ とする逆関数 $y=Q(x)$ が微分可能であることは証明なしに認めてよい．関数 $R(x)$ を $x\geqq0$ に対して
$R(x)=\displaystyle\int_0^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(v)}\,dv$
と定めるとき， $R(x)$ を求めよ．

2025.03.04記

[解答]
(1) $\displaystyle\int x\log(1+x)dx$
$=\dfrac{x^2}{2}\log(1+x)-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{x^2}{1+x}dx$
$=\dfrac{x^2}{2}\log(1+x)-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{x^2-1+1}{1+x}dx$
$=\dfrac{x^2}{2}\log(1+x)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2}{2}-x+\log(1+x)\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{x^2-1}{2}\log(1+x)-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x}{2}+(積分定数)$
である．ここで
$F(x)=\dfrac{x^2-1}{2}\log(1+x)-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x}{2}$
とおく（ $F(0)=0$ ）．

(2) $x\geqq 0$ で $x，\log(1+x)$ 正の範囲で単調増加であるから，その積である $f(x)$ も $x\geqq 0$ で単調増加．

$y=g(x)$ と置換すると $x=f(y)$ であるから
$I=\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx$ $=\displaystyle\int_1^2 y f'(y)\,dy$ $=\Bigl[ yf(y)\Bigr]_1^2-\displaystyle\int_1^2 f(y)\,dy$
$=2f(2)-f(1)-F(2)+F(1)$ $=4\log 3-\log 2-\dfrac{3}{2}\log3+\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{5}{2}\log 3-\log 2+\dfrac{1}{4}$
となる．

(3) $v=P(u)$ と置換すると $u=Q(v)$ であるから， $P(0)=\displaystyle\int_0^0\sqrt{1+f(t)}dt=0$ に注意すると
$R(x)=\displaystyle\int_0^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(v)}\,dv$ $=\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{P'(u)}{Q'(v)}\,du$
となる．ここで逆関数の微分法により
$P'(u)Q'(v)=1$
であるから，
$R(x)=\displaystyle\int_0^{x}\{P'(u)\}^2\,du$ $=\displaystyle\int_0^{x}\{1+f(u)\}\,du$ $=x-0+F(x)-F(0)$ $=x+F(x)$ $=\dfrac{x^2-1}{2}\log(1+x)-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x}{2}$
となる．