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2025.03.03記

[1] 関数 $f(x)$ を $x\geqq 0$ に対して $f(x)=x\log(1+x)$ と定める．

(1) 不定積分 $\displaystyle\int x\log(1+x)dx$ を求めよ．

(2) $y=f(x)$ （ $x\geqq0$ ）の逆関数を $y=g(x)$ （ $x\geqq0$ ）とする．また $a，b$ を $g(a)=1$ ， $g(b)=2$ なる実数とする．このとき定積分
$I=\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx$
の値を求めよ．

(3) 関数 $P(x)$ を $x\geqq0$ に対して $P(x)=\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+f(t)}dt$ と定める．このとき $y=P(x)$ について，定義域を $x\geqq0$ とする逆関数 $y=Q(x)$ が微分可能であることは証明なしに認めてよい．関数 $R(x)$ を $x\geqq0$ に対して
$R(x)=\displaystyle\int_0^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(v)}\,dv$
と定めるとき， $R(x)$ を求めよ．

[2] 空間の点 $(0，0，1)$ を通り $(1，-1，0)$ を方向ベクトルとする直線を $\ell$ とし，点 $(1，0，3)$ を通り $(0，1，-2)$ を方向ベクトルとする直線を $m$ とする．

(1) $\mbox{P}$ を $\ell$ 上の点とし， $\mbox{Q}$ を $m$ 上の点とする．また直線 $\mbox{PQ}$ は直線 $\ell$ と直線 $m$ に垂直であるとする．このとき $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の座標，および線分 $\mbox{PQ}$ の長さを求めよ．

(2) $\ell$ 上に2点
$\mbox{A}=(t，-t，1)$
$\mbox{B}=(2+t+\sin t，-2-t-\sin t，1)$
があり， $m$ 上に2点
$\mbox{C}=(1，t，3-2t)$
$\mbox{D}=(1，2+t+\cos t，-1-2t-2\cos t)$
があるとする．ただし， $t$ は実数とする．四面体 $\rm ABCD$ の体積を $V(t)$ とする． $V(0)$ を求めよ．

(3) $t$ が $t\geqq0$ を動くとき， $V(t)$ の最大値と最小値を求めよ．

[3] $0\lt p\lt 1$ とする．表が出る確率が $p$ ，裏が出る確率が $1-p$ である1枚のコインを使って次のゲームを行う．

・ゲームの開始段階では点数は0点．

・コインを投げ続け，表が出るごとに1点加算し，裏が出たときは点数はそのまま．

・2回続けて裏が出たらゲームは終了．

0以上の整数 $n$ に対し，ゲームが終わったときに $n$ 点となっている確率を $Q_n$ とする．

(1) $Q_1$ ， $Q_2$ を $p$ を用いて表せ．

(2) $Q_n$ を $n$ と $p$ を用いて表せ．

(3) $0\lt x\lt 1$ を満たす実数 $x$ に対して次式が成り立つことを示せ．
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば $0\lt x\lt 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx^n=0$ であることを証明なしで使ってもよい．

(4) 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nQ_n$ を $p$ を用いて表せ．

[4] 数列 $\{a_n\}$ を
$a_1=a_2=1$
$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ （ $n=1，2，3，\ldots$ ）
により定め，数列 $\{b_n\}$ を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める．ただし，
$0\lt b_n\lt \dfrac{\pi}{2}$ であるものとする．

(1) $n\geqq2$ に対して， $a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2$ を求めよ．

(2) $m\geqq1$ （ $m$ は整数）に対して， $a_{2m}\cdot\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$ を求めよ．

(3) 無限級数 $\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}b_{2m+1}$ を求めよ．

[5] (1) 関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3}$ （ $t\neq0$ ）
の増減を調べ，グラフの概形をかけ．

(2) 実数 $x$ ， $y$ ， $z$ が，条件
$\left\{ \begin{array}{l} x\lt y\lt z\\ xyz\neq0\\ x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3\\ x^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3 \end{array} \right.$
を満たしながら動くとき， $x$ が取り得る値の範囲を求めよ．

2025年(令和7年)東京科学大学(理工学系) 前期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
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