https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2023/04

2025.04.09記

[4] $xyz$ 空間において， $x$ 軸を軸とする半径2の円柱から， $|y|\lt 1$ かつ $|z|\lt 1$ で表される角柱の内部を取り除いたものを $A$ とする．また， $A$ を $x$ 軸のまわりに $45^{\circ}$ 回転してから $z$ 軸のまわりに $90^{\circ}$ 回転したものを $B$ とする． $A$ と $B$ の共通部分の体積を求めよ．

2025.04.09記

[解答]
$z=t$ （ $0\leqq t\leqq 2$ ）において，
$A$ の断面は
$0\leqq t\leqq 1$ のとき $1\leqq |y|\leqq\sqrt{4-t^2}$ ，
$1\leqq t\leqq 2$ のとき $|y|\leqq\sqrt{4-t^2}$
であり， $B$ の断面は
$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$ のとき $\sqrt{2}-t\leqq |x|\leqq\sqrt{4-t^2}$ ，
$\sqrt{2}\leqq t\leqq 2$ のとき $|y|\leqq\sqrt{4-t^2}$
である．よって $z=t$ （ $0\leqq t\leqq 2$ ）における断面積 $S(t)$ は

(i) $0\leqq t\leqq 1$ のとき， $\dfrac{S(t)}{4}=(\sqrt{4-t^2}-1)(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt{2})$ である．

(ii) $1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ のとき， $\dfrac{S(t)}{4}=\sqrt{4-t^2}(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt{2})$ である．

(iii) $\sqrt{2}\leqq t\leqq 2$ のとき， $\dfrac{S(t)}{4}=4-t^2$ である．

よって求める体積を $V$ とすると
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{V}{4}=-\displaystyle\int_0^1(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt{2})\, dt$ $+\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{4-t^2}(t-\sqrt{2})\, dt$ $+\displaystyle\int_0^{2} (4-t^2)\, dt$
$=-\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$ $-\Bigl[\dfrac{1}{3}(4-t^2)^{\frac{3}{2}}\Bigr]_0^{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right)$ $+8-\dfrac{8}{3}$
$=-\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$ $-\dfrac{2\sqrt{2}-8}{3}-\sqrt{2}\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right)$ $+8-\dfrac{8}{3}$
$=-\dfrac{2+3\sqrt{2}}{6}\pi-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}+\dfrac{15}{2}$
となるので，
$V=-\dfrac{8+12\sqrt{2}}{3}\pi-4\sqrt{3}-\dfrac{16\sqrt{2}}{3}+60$
となる．