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2023年(令和5年)東京工業大学-数学[3]

2025.04.09記

[3] 実数が書かれた3枚のカード $\fbox{$\,0\,$}$ ， $\fbox{$\,1\,$}$ ， $\fbox{$\sqrt{3}$}$ から，無作為に2枚のカードを順に選び，出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える．正の整数 $n$ に対して，この操作を $n$ 回繰り返して得られる $n$ 個の複素数の積を $z_n$ で表す．

(1) $|z_n|\lt 5$ となる確率 $P_n$ を求めよ．

(2) $z_n^2$ が実数となる確率 $Q_n$ を求めよ．

2025.04.09記

[解答]
(1) 得られた複素数の絶対値はそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ の確率で $1，\sqrt{3}，2$ となるので，
$\sqrt{3}$ または $2$ が3回以上出ると $|z_n|\geqq 5$ となってしまう．

よって $P_n=\dfrac{1+{}_n\mbox{C}_1\cdot 2+{}_n\mbox{C}_2\cdot 2^2}{3^n}$
$=\dfrac{1+2n+2n(n-1)}{3^n}$ $=\dfrac{2n^2+1}{3^n}$ となる．

(2) 得られた複素数の2乗の偏角が $0，\pi$ となる確率はそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ であり， $\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{2\pi}{3}$ となる確率はそれぞれ $\dfrac{1}{6}$ である．

よって $Q_1=\dfrac{2}{3}$ ， $Q_{n+1}=\dfrac{2}{3}Q_n+\dfrac{1}{6}(1-Q_n)$ が成立し，これを解くことにより $Q_n=\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-1}}+\dfrac{1}{3}$ となる．

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