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2025.04.09記

[2] 方程式 ${(x^3-x)}^2(y^3-y)=86400$ を満たす整数の組 $(x，y)$ をすべて求めよ．

本問のテーマ

連続 $n$ 整数の積は $n!$ の倍数

2025.04.09記
$86400$ 秒は一日の秒数だから $60\times 60\times 24$ となるので少くとも $(x，y)=(4，3)$ が解であることがわかる．

それはともかく， $x^3-x$ ， $y^3-y$ が連続3整数の積であることに気づかないといけない．そして $x\lt 0$ の場合を忘れないようにしないといけない．

[解答]
$n^3-n=(n-1)n(n+1)$ であるから， $X=x^3-x$ ， $Y=y^3-y$ は共に連続3整数の積であり， $X^2Y=86400=2^7\times 3^3\times 5^2$ が成立するので $|X|$ は $2^3\times 3\times 5=120$ の約数となり，連続3整数の積が $6，24，60，120，…$ と続くことから $|X|=6，24，60，120$ であり， $(|X|，Y)=(6，2400)，(24，150)，(60，24)，(120，6)$
となるが，
$4\cdot 5\cdot 6=120\lt 150 \lt 5\cdot 6\cdot 7=210$ ， $12\cdot 13\cdot 14=2184\lt 2400 \lt 13\cdot 14\cdot 15=2730$
により， $210，2400$ は連続3整数の積にはならないので $(|X|，Y)=(60，24)，(120，6)$ である．よって $(x，y)=(\pm 4，3)，(\pm 5，2)$ となる．

[別解]
$n^3-n=(n-1)n(n+1)$ であるから， $X=x^3-x$ ， $Y=y^3-y$ は共に連続3整数の積であり， $X^2Y=86400=2^7\times 3^3\times 5^2$ が成立する．連続3整数は6の倍数であるから， $X=6p$ ， $Y=6q$ とおくと $p^2q=2^4\times 5^2=400$ が成立するので $|p|$ は $2^2\times 5=20$ の約数であるから $|p|=1，2，4，5，10，20$ となり $|X|=6，12，24，30，60，120$ となる．この中で連続3整数の積となるのは $|X|=6，24，60，120$ であり， $(|X|，Y)=(6，2400)，(24，150)，(60，24)，(120，6)$
となる．

ここで $X$ が $5$ で割り切れないとすると $Y\gt 0$ は $25$ で割り切れなければならない．ここで
$48\cdot 49\cdot50\gt 40\cdot 45\cdot 50=90000\gt 86400$ に注意すると
$Y=23\cdot 24\cdot 25，24\cdot 25\cdot 26，25\cdot 26\cdot 27$
のいずれかでなければならないが， $86400$ は $13，23$ を素因数にもたないので矛盾する．

よって $|X|\gt 0$ は $5$ で割り切れるので $|X|=60，120$ であり， $(|X|，Y)=(60，24)，(120，6)$ となる．よって $(x，y)=(\pm 4，3)，(\pm 5，2)$ となる．