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2025.04.09記

[1] 実数 $\displaystyle\int_0^{2023}\dfrac{2}{x+e^x}\, dx$ の整数部分を求めよ．

2025.04.09記
$\displaystyle\int\dfrac{2}{x+e^x}\, dx$ の原始関数を初等的に求めることはできないので，評価することを考える．まずは単純に
$x\geqq 0$ で $e^x\geqq x+1\gt x$ だから
$e^x\leqq x+e^x \lt 2e^x$ （左の等号は $x=0$ のときのみ成立）
となるので
$\displaystyle\int_0^{2023} e^{-x}\, dx$ $\lt \displaystyle\int_0^{2023} \dfrac{2}{x+e^x}\, dx$ $\lt \displaystyle\int_0^{2023}2e^{-x}\, dx$
から
$1-e^{-2023}$ $\lt \displaystyle\int_0^{2023}\dfrac{2}{x+e^x}\, dx$ $\lt 2-2e^{-2023}$
が成立する．ここで $e^{-2023}$ はほぼ $0$ であるから，求める整数部分は $1$ であると考えて左側の不等式をもう少し厳しくする．つまり
$e^x\leqq x+e^x \leqq 2e^x-1$
で評価する．

[解答]
$I=\displaystyle\int_0^{2023}\dfrac{2}{x+e^x}\, dx$ とおく．

$x\geqq 0$ で $e^x\geqq x+1$ だから
$e^x\leqq x+e^x \lt 2e^x-1$ （左右の等号は $x=0$ のときのみ成立）
となるので
$\displaystyle\int_0^{2023} \dfrac{2}{2e^{x}-1}\, dx$ $\lt I$ $\lt \displaystyle\int_0^{2023} \dfrac{2}{e^{x}}\, dx$ ，
つまり
$\displaystyle\int_0^{2023} \dfrac{2e^{-x}}{2-e^{-x}}\, dx$ $\lt I$ $\lt \displaystyle\int_0^{2023} 2e^{-x}\, dx$
が成立する．よって
$2\Bigl[ \log |e^{-x}-2|\Bigr]_0^{2023}\lt I\lt 2\Bigl[-2e^{-x}\Bigr]_0^{2023}$ ，
つまり
$2\log (2-e^{-2023})\lt I\lt 2-2e^{-2023}$
が成立する．
ここで
$2\log (2-e^{-2023})-1$ $=\log\dfrac{4-4e^{-2023}+e^{-2026}}{e}$ $\gt\log\dfrac{4-4\cdot e^{-2023}}{e}$ $\gt\log\dfrac{4-4\cdot 2^{-2023}}{e}$ $\gt\log\dfrac{4-4\cdot 2^{-2}}{e}$ $=\log\dfrac{3}{e}\gt 0$
であるから， $1\lt I\lt 2$ が成立し，よって求める整数部分は $1$ である．

2025.04.09記

[別解]
$f(x)=\dfrac{2}{x+e}$ とおくと
$f'(x)=-\dfrac{2(1+e^x)}{(x+e^x)^2}\lt 0$ ，
$f'’(x)=-\dfrac{2e^x(e^x-x-1)+10e^x+4}{(x+e^x)^3}\gt 0$ （∵ $e^x\geqq x+1$ ）
であるから， $f(x)\geqq f'(1)(x-1)+f(1)=-\dfrac{2}{1+e}(x-2)$ が成立する．

よって， $y=-\dfrac{2}{1+e}(x-2)$ と $x$ 軸， $y$ 軸でできる三角形の面積 $\dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot \dfrac{4}{1+e}=\dfrac{4}{1+e}\gt 1$ よりも $\displaystyle\int_0^{2023}\dfrac{2}{x+e^x}\, dx$ の方が大きくなるので
$\displaystyle\int_0^{2023}\dfrac{2}{x+e^x}\, dx\gt 1$ が成立する．

（以下略）