https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2022/04

2022.03.05記

[4] $a$ は正の実数とする．複素数 $z$ が $|z-1|=a$ かつ $z\neq\dfrac{1}{2}$ を満たしながら動くとき，複素数平面上の点 $w=\dfrac{z-3}{1-2z}$ が描く図形を $K$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) $K$ が円となるための $a$ の条件を求めよ．また，そのとき $K$ の中心が表す複素数と $K$ の半径を，それぞれ　 $a$ を用いて表せ．

(2) $a$ が(1)の条件を満たしながら動くとき，虚軸に平行で円 $K$ の直径となる線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ．

2022.03.05記
円々対応．

[解答]

$w=\dfrac{z-3}{1-2z}$ から $z-1=\dfrac{2-w}{1+2w}$ となるので， $K$ は
$|w-2|=a|2w+1|$
つまり
$(1-4a^2)w\bar{w}-2(1+a^2)(w+\bar{w})+4-a^2=0$
となる．これが円となるためには $a(\gt 0)$ により $a=\dfrac{1}{2}$ が必要であり，このとき
$w\bar{w}-2\dfrac{1+a^2}{1-4a^2}(w+\bar{w})+\dfrac{4(1+a^2)^2}{(1-4a^2)^2}=\dfrac{4(1+a^2)^2-(4-a^2)(1-4a^2)}{(1-4a^2)^2}$
から
$\left| w-\dfrac{2+2a^2}{1-4a^2}\right|=\dfrac{5a}{|1-4a^2|}$
となるので，確かに半径が正の値として得られるので円を表すので十分である．

よって $K$ が円を表すための必要十分条件は $a>0$ かつ $a\neq\dfrac{1}{2}$ であり，このとき中心は $\dfrac{2+2a^2}{1-4a^2}$ で半径は $\dfrac{5a}{|1-4a^2|}$ となる．

(2) 線分の上端点の複素数は
$x=\dfrac{2+2a^2}{1-4a^2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{1-4a^2}$ ，
$y=\dfrac{5a}{|1-4a^2|}(\gt 0)$
であり，このとき線分上端点の複素数は $x-yi$ であるから，
線分はこの2点を結ぶ虚軸に平行は線分となる．

よって $x+yi$ の軌跡を求め，その軌跡を実軸対称した軌跡との間を虚軸に平行は線分で塗り潰したものが求める領域となる．

ここで(1) より軌跡の限界を求めるための $a$ の条件は $0\lt a$ かつ $a\neq\dfrac{1}{2}$ となることに注意しておく．このとき，
$x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{1-4a^2}$ ， $y=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{2a}{|1-4a^2|}$
であるから，
$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-y^2$ $=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{1-4a^2}$ $=\dfrac{5}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$
となり，
$\left(x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{4}\right)^2-y^2$ $=\dfrac{25}{16}$
つまり，
$\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2-y^2$ $=\dfrac{25}{16}$
となるので， $(x,y)$ は双曲線 $\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2-y^2$ $=\dfrac{25}{16}$ 上にある．ここで

$a$	$(0)$	$\cdots$	$\left(\dfrac{1}{2}\right)$	$\cdots$	$(+\infty)$
$x$	$(2)$	$\nearrow$	$+\infty / -\infty$	$\nearrow$	$\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
$y$	$(0)$	$\nearrow$	$+\infty$	$\searrow$	$(0)$

注）双曲線上にあることがわかっているのだから微分しなくても曲線を追跡することができる．

となることから， $(x,y)$ は双曲線 $\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2-y^2$ $=\dfrac{25}{16}$ の $y\gt 0$ の部分を全て動く．よって求める領域は
$\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2-y^2$ $\geqq\dfrac{25}{16}$ かつ $x\lt-\dfrac{1}{2},2\lt x$
となる．

$X=\dfrac{1}{1-p^2}$ ， $Y=\dfrac{p}{1-p^2}$ のとき， $p$ は $X^2-Y^2=X$ と簡単に消去できることを式から理解しておこう．もちろん，計算用紙に
$\dfrac{Y^2}{X^2}=p^2=1-\dfrac{1}{X}$
とメモして $X^2-X=Y^2$ となることを確認した後に、答案には単に

$X^2-X=\dfrac{1-(1-p^2)}{(1-p^2)^2}=Y^2$

が成立する，と書くだけでも良い(上記解答では， $X^2-Y^2=X$ の方を使ったが)．文字を含む場合の割り算はゼロ割りに注意しなければならないので、やらないに越したことはない．