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2022.03.03記

[2] 3つの正の整数 $a,b,c$ の最大公約数が $1$ であるとき，次の間いに答えよ．

(1) $a+b+c$ ， $ab+bc+ca$ ， $abc$ の最大公約数は $1$ であることを示せ．

(2） $a+b+c$ ， $a^2+b^2+c^2$ ， $a^3+b^3+c^3$ の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ．

2022.03.03記

[解答]

(1) $a+b+c$ ， $ab+bc+ca$ ， $abc$ 　が素数 $p$ を公約数にもつと仮定すると， $a+b+c=pK$ ，
$ab+bc+ca=pL$ ， $abc=pM$ をみたす整数 $K,L,M$ が存在する．

このとき， $p(cL)=c(ab+bc+ca)$ $=abc+c(a+b)$ $=p(K+M)-c^2$ により $c^2$ は素数 $p$ の倍数となるので $c$ も素数 $p$ の倍数．同様に $p(aL),p(bL)$ について考えると， $a,b,c$ が全て素数 $p$ の倍数となり， $a,b,c$ の最大公約数が $1$ であることに反する．よって題意は示された．

(2) $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$ で，これと $a+b+c$ の最大公約数は，ユークリッドの互除法により， $a+b+c$ と $2(ab+bc+ca)$ の最大公約数に等しい．

一方，
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$ で，これと $a+b+c$ の最大公約数は，ユークリッドの互除法により， $a+b+c$ と $3abc$ の最大公約数に等しい．

よって， $a+b+c$ ， $a^2+b^2+c^2$ ， $a^3+b^3+c^3$ の最大公約数は，
$a+b+c$ ， $2(ab+bc+ca)$ ， $3abc$ の最大公約数に等しい．

ここで(1)より，最大公約数としてありえるのは $1,2,3,6$ のいずれかである．

例えば $a=1,b=1,c=3$ のとき $a+b+c=5,a^2+b^2+c^2=11,a^3+b^3+c^3=29$ だから，最大公約数は 1 となりうる．
例えば $a=1,b=1,c=2$ のとき $a+b+c=4,a^2+b^2+c^2=6,a^3+b^3+c^3=10$ だから，最大公約数は 2 となりうる．
例えば $a=1,b=1,c=1$ のとき $a+b+c=3,a^2+b^2+c^2=3,a^3+b^3+c^3=3$ だから，最大公約数は 3 となりうる．
例えば $a=1,b=1,c=4$ のとき $a+b+c=6,a^2+b^2+c^2=18,a^3+b^3+c^3=66$ だから，最大公約数は 6 となりうる．