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2022.03.03記

[1] $a,b$ を実数とし， $f(z)=z^2+ax+b$ とする． $a,b$ が $|a|\leqq1$ ， $|b|\leqq1$ を満たしながら動くとき， $f(z)=0$ を満たす複素数 $z$ がとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ．

[2] 3つの正の整数 $a,b,c$ の最大公約数が $1$ であるとき，次の間いに答えよ．

(1) $a+b+c$ ， $ab+bc+ca$ ， $abc$ の最大公約数は $1$ であることを示せ．

(2） $a+b+c$ ， $a^2+b^2+c^2$ ， $a^3+b^3+c^3$ の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ．

[3] $\alpha$ は $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ を満たす実数とする． $\angle{\rm A}=\alpha$ および $\angle{\rm P}=\dfrac{\pi}{2}$ を満たす直角三角形 $\rm APB$ が，次の2つの条件 (a)，(b) を満たしながら，時刻 $t=0$ から時刻 $t=\dfrac{\pi}{2}$ まで $xy$ 平面上を動くとする．

(a）時刻 $t$ での点 $\rm A,B$ の座標は，それぞれ ${\rm A}(\sin t,0)$ , ${\rm B}(0, \cos t)$ である．

(b) 点 $\rm P$ は第一象限内にある．

このとき，次の間いに答えよ．

(1) 点 $\rm P$ はある直線上を動くことを示し，その直線の方程式を $\alpha$ を用いて表せ．

(2) 時刻 $t=0$ から時刻 $t=\dfrac{\pi}{2}$ までの間に点 $\rm P$ が動く道のりを $\alpha$ を用いて表せ．

(3) $xy$ 平面内において，連立不等式
$x^2-x+y^2\lt 0$ ， $x^2+y^2-y\lt 0$
により定まる領域を $D$ とする．このとき，点 $\rm P$ は領域 $D$ には入らないことを示せ．

[4] $a$ は正の実数とする．複素数 $z$ が $|z-1|=a$ かつ $z\neq\dfrac{1}{2}$ を満たしながら動くとき，複素数平面上の点 $w=\dfrac{z-3}{1-2z}$ が描く図形を $K$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) $K$ が円となるための $a$ の条件を求めよ．また，そのとき $K$ の中心が表す複素数と $K$ の半径を，それぞれ　 $a$ を用いて表せ．

(2) $a$ が(1)の条件を満たしながら動くとき，虚軸に平行で円 $K$ の直径となる線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ．

[5] $a$ は $0\lt a\leqq\dfrac{\pi}{4}$ を満たす実数とし， $f(x)=\dfrac{4}{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+ax\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-ax\right)$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) 次の等式(＊)を満たす $a$ がただ1つ存在することを示せ．

(＊)　 $\displaystyle\int_0^1 f(x)dx=1$

(2) $0\leqq b\lt c\leqq 1$ を満たす実数 $b,c$ について，不等式

$f(b)(c-b)\leqq\displaystyle\int_b^c f(x)dx\leqq f(c)(c-b)$

が成り立つことを示せ．

(3) 次の試行を考える．

[試行] $n$ 個の数 $1,2,\ldots,n$ を出目とする，あるルーレットを $k$ 回まわす．

この[試行]において，各 $i=1,2,\ldots,n$ について $i$ が出た回数を $S_{n,k,i}$ とし，

(＊＊)　 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\dfrac{S_{n,k,i}}{k}$ $=\displaystyle\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x)dx$

が成り立つとする．このとき，(1)の等式(＊)が成り立つことを示せ．

(4) (3)の[試行]において出た数の平均値を $A_{n,k}$ とし， $A_n=\displaystyle\lim_{k\to\infty} A_{n,k}$ とする．(＊＊)が成り立つとき，極限 $=\displaystyle\lim_{k\to\infty} \dfrac{A_{n}}{n}$ を $a$ を用いて表せ．

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