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2024.09.21記

[5] $k$ を正の整数とし， $a_k=\displaystyle\int_0^1 x^{k-1}\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\, dx$ とおく．

(1) $a_{k+2}$ を $a_k$ と $k$ を用いて表せ．

(2) $k$ を限りなく大きくするとき，数列 $\{ka_k\}$ の極限値 $A$ を求めよ．

(3) (2)の極限値 $A$ に対し， $k$ を限りなく大きくするとき，数列 $\{k^ma_k-k^nA\}$ が $0$ ではない値に収束する整数 $m，n$ （ $m\gt n\geqq 1$ ）を求めよ．またそのときの極限値 $B$ を求めよ．

(4) (2)と(3)の極限値 $A，B$ に対し， $k$ を限りなく大きくするとき，数列 $\{k^pa_k-k^qA-k^rB\}$ が $0$ ではない値に収束する整数 $p，q，r$ （ $p\gt q\gt r\geqq 1$ ）を求めよ．またそのときの極限値を求めよ．

2024.09.21記
実数列 $A_k$ に対して $k^{\alpha} A_k$ が $k\to\infty$ で $0$ でない実数に収束するような $\alpha$ は高々1つであることは自明として良いでしょう．心配ならば[解答]のように書いておくと良い

[解答]
(1) $a_{k+2}$ $=\displaystyle\int_0^1 x^{k+1}\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\, dx$ $=\Bigl[-\dfrac{2}{\pi} x^{k+1}\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\Bigr]_0^1$ $+\dfrac{2}{\pi}(k+1)\displaystyle\int_0^1 x^{k}\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\, dx$
$=\dfrac{2}{\pi}(k+1)\displaystyle\int_0^1 x^{k}\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\, dx$
$=\Bigl[\dfrac{4}{\pi^2}(k+1)x^{k}\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\Bigr]_0^1$ $-\dfrac{4}{\pi^2}k(k+1)\displaystyle\int_0^1 x^{k-1}\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\, dx$
$=\dfrac{4}{\pi^2}(k+1)-\dfrac{4}{\pi^2}k(k+1)a_k$
である．

(2) $b_k=ka_k$ とおくと
$\dfrac{b_{k+2}}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{4}{\pi^2}-\dfrac{4}{\pi^2}b_k$
である． $a_k$ の定義である定積分の被積分関数は非負であり恒等的に0でないから，任意の正の整数 $k$ に対して $a_k\gt 0$ より $b_k\gt 0$ である．

よって $\dfrac{b_{k+2}}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{4}{\pi^2}-\dfrac{4}{\pi^2}b_k$ から $0\lt b_k\lt 1$ が全ての $k$ について成立し，
$0\lt |b_k-1|=\dfrac{\pi^2}{4(k+1)(k+2)}b_k\lt \dfrac{\pi^2}{4(k+1)(k+2)}$
が成立する． $k\to\infty$ で右辺は0に近づくのではさみうちの原理から $b_k\to 1$ である．よって $A=1$ となる．

以下，実数列 $A_k$ に対して $k^{\alpha} A_k$ が $k\to\infty$ で $0$ でない実数に収束するような実数 $\alpha$ は高々1つであることを用いる．実際， $k\to\infty$ で $| k^{\alpha} A_k| \to C(\gt 0)$ のとき，任意の正の数 $\varepsilon$ に対して $k\to\infty$ で $k^{\varepsilon}\to+\infty$ となるので，
$| k^{\alpha+\varepsilon} A_k|=k^{\varepsilon}\cdot | k^{\alpha} A_k| \to +\infty$ ，
$| k^{\alpha-\varepsilon} A_k|=\dfrac{| k^{\alpha} A_k|}{k^{\varepsilon}} \to 0$
となるからである．よって(3)(4)を満たすものは高々1つであり，1つ見つかればそれが全てである．

(3) $c_k=1-b_k$ とおくと $k\to\infty$ で $c_k\to 0$ である．
$\dfrac{1-c_{k+2}}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{4}{\pi^2}c_k$
となり
$\dfrac{k^2(1-c_{k+2})}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{4}{\pi^2}k^2c_k$
が成立する．この左辺は $k\to\infty$ で $1$ に近づくので $k^2c_k\to \dfrac{\pi^2}{4}$ である．

注）この部分は $0\lt c_k\lt 1$ から
$0\lt \left|k^2c_k-\dfrac{\pi^2}{4}\right|=\dfrac{\pi^2}{4}\cdot \dfrac{3k+2+c_{k+2}}{(k+1)(k+2)}\lt \dfrac{\pi^2}{4}\cdot \dfrac{3k+3}{(k+1)(k+2)}$
となり， $k\to\infty$ で右辺は0に近づくのではさみうちの原理を用いても良い．

ここで $k^2c_k=k^2-k^3a_k$ であるから， $k^3a_k-k^2A\to -\dfrac{\pi^2}{4}$ である．よって $m=3，n=2$ ， $B=-\dfrac{\pi^2}{4}$ となる．

(4) $d_k=\dfrac{\pi^2}{4}-k^2c_k$ とおくと $k\to\infty$ で $d_k\to 0$ である．
$\dfrac{k^2+d_k-\dfrac{\pi^2}{4}}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{4}{\pi^2}\left(\dfrac{\pi^2}{4}-d_k\right)$ ，
つまり
$\dfrac{k\left(3k+2-d_k+\dfrac{\pi^2}{4}\right)}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{4}{\pi^2}kd_k$ ，
が成立する．この左辺は $k\to\infty$ で $3$ に近づくので $kd_k\to \dfrac{3\pi^2}{4}$ である．

ここで $kd_k=-kB-k^3A+k^4a_k$ であるから，
$k^4a_k-k^3A-kB\to \dfrac{3\pi^2}{4}$ である．
よって $p=4，q=3，r=1$ ，求める極限値は $\dfrac{3\pi^2}{4}$ である．