https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2011/1Toku

2024.06.24記

[2] 正の数 $a，b，c$ が三角形の3辺の長さとなるように動くとき
$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
の取る得る値の範囲を求めよ．

本問のテーマ

Ravi 変換
O 変換

2024.06.24記
本問の難しさは「 $a，b，c$ が三角形の3辺の長さとなる」という条件をどう消化するかにあるが，O 変換はその条件をかなり簡単に扱うことができるので良いということになる．

Ravi 変換

三角形の3辺の長さを扱うときの置き換えの基本．

[解答]
$A=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
とおく． $a=x+y$ ， $b=y+z$ ， $c=z+x$ と Ravi 変換を行うと
正の数 $a，b，c$ が三角形の3辺の長さとなる必要十分条件は $x,y,z\gt 0$ であり，
$A=2\dfrac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)}$
である．ここで
$X=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ ， $Y=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ ， $Z=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
とおくと
$A=2\left(\dfrac{1}{3}＋\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{1+3(XY+YZ+ZX)}\right)$
となる．ここで $X^2+Y^2+Z^2=1$ ， $X,Y,Z\gt 0$ のとき
$0\lt XY+YZ+ZX \leqq 1$
( $X,Y\to 0，Z\to 1$ で 0 にいくらでも近づく)
( $1-(XY+YZ+ZX)=\dfrac{1}{2}\{(X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2\geqq 0$ )
であるから，
$1\leqq A\lt 2$

O 変換

X(旧Twitter)で話題の O 変換を使って解く，というので少し話題になった．
O 変換についての記事は
最近話題らしい O 変換と統計におけるデータの標準化 - 球面倶楽部零八式 mark II

を参照のこと．

(2024.10.08追記，以下の post は鍵垢になっていた
~~本問の O 変換を使った解答は~~

最近噂のO変換について世界一雑にまとめました。急いで作ってるので嘘を言っている箇所がある可能性があります。 pic.twitter.com/EcI4LVSlYi
— うるとらまりん嘘発言bot (@bqnli) 2024年6月18日

~~を漁ってくれ。結論が $1\leqq A\leqq 2$ となっているが、、、．~~
~~結論はツリーで $1\leqq A\lt 2$ に修正されていた~~
2024.10.09追記，いつの間にか復活していたけど，まぁこのままで．）

2024.10.08記
参照した post は鍵垢になっていたので，O変換を用いた解答例（件の post とは違うと思う）を載せておく．

[解答]
$A=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
とおく． $a=p+r\cos\alpha$ ， $b=p+r\cos\beta$ ， $c=p+r\cos\gamma$
（ $r\geqq 0$ ， $\beta=\alpha+\dfrac{2}{3}\pi$ ， $\gamma=\alpha+\dfrac{4}{3}\pi$ ）
と O変換を行う．

(i) $r=0$ のとき， $a=b=c$ より三角形をなし， $A=1$ である．

(ii) $r\gt 0$ のとき， $a\geqq b\geqq c$ としても一般性を失わず，このとき $-\dfrac{\pi}{3}\leqq \alpha\leqq 0$ となる．

最小辺 $c$ が正であることから $\dfrac{p}{r}\gt -\cos\gamma=\cos(\gamma-\pi)=\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)$ が成立する．

三角形の成立条件は $a\lt b+c$ であるから $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0$ に注意すると $p+r\cos\alpha\lt 2p+r(\cos\beta+\cos\gamma)=2p-r\cos\alpha$ ，つまり $\dfrac{p}{r}\gt 2\cos\alpha$ が成立する．

よって $a，b，c$ （ $a\geqq b\geqq c$ ）が三角形をなすための必要十分条件はＯ変換による最大辺の表現
$a=p+r\cos\alpha$ が
$-\dfrac{\pi}{3}\leqq \alpha\leqq 0$ ， $\dfrac{p}{r}\gt \cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)$ ， $\dfrac{p}{r}\gt 2\cos\alpha$
の3式を満たすことである．

ここで $\alpha$ が増加すると $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)$ は減少し， $2\cos\alpha$ は増加することと， $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cos\alpha$ が $\alpha=-\dfrac{\pi}{3}$ で成り立つことから

$\max\left\{\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)，2\cos\alpha\right\}\geqq 1$
（等号成立は $\alpha=-\dfrac{\pi}{3}$ ）

となるので任意の三角形に対して $\dfrac{p}{r}\gt 1$ が成立する．

今， $a=b$ の2等辺三角形では $a=b=p+\dfrac{r}{2}$ ， $c=p-r$ となるので， $c\to 0$ で $\dfrac{p}{r}\to 1$ となり， $c\to a$ で $\dfrac{p}{r}\to +\infty$ となるので $\dfrac{p}{r}$ は $\dfrac{p}{r}\gt 1$ を満たすすべての実数値をとり得る．

さて， $ab+bc+ca=3p^2-\dfrac{3}{4}r^2$ ， $a^2+b^2+c^2=3p^2+\dfrac{3}{2}r^2$ であるから，
$A=\dfrac{3p^2+\dfrac{3}{2}r^2}{3p^2-\dfrac{3}{4}r^2}$ $=1+\dfrac{3}{4\left(\dfrac{p}{r}\right)^2-1}$
となり，これは $\dfrac{p}{r}\gt 1$ で単調減少であり， $\dfrac{p}{r}\to 1$ で $A\to 2$ ， $\dfrac{p}{r}\to\infty$ で $A\to 1$ だから $1\lt A\lt 2$ となる．

よって(i)(ii)により $1\leqq A\lt 2$ となる．

2024.10.09記
任意の三角形に対して $p\gt r$ だから $p=r+\delta$ （ $\delta\gt 0$ ）とおくことができて，このとき $r=2R$ ， $A=-\dfrac{\alpha}{2}$ とおくと
$a=\delta+R\cos^2A$ ， $b=\delta+R\cos^2\left(A+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ ， $c=\delta+R\cos^2\left(A+\dfrac{\pi}{3}\right)$
（ $0\leqq A\leqq\dfrac{\pi}{6}$ ）
と表すことができる．あまり使えなさそうだけど．