https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2011/03

2024.10.05記

[3] 定数 $k$ は $k\gt 1$ をみたすとする． $xy$ 平面上の点 $\mbox{A}(1，0)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線の第 $1$ 象限に含まれる部分を， $2$ 点 $\mbox{X}，\mbox{Y}$ が $\mbox{AY} = k\mbox{AX}$ をみたしながら動いている．原点 $\mbox{O}(0，0)$ を中心とする半径 $1$ の円と線分 $\mbox{OX}，\mbox{OY}$ が交わる点をそれぞれ $\mbox{P}，\mbox{Q}$ とするとき， $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積の最大値を $k$ を用いて表せ．

2024.10.05記

[解答]
鋭角 $\alpha，\beta$ （ $\alpha\lt\beta$ ）を用いて
$\mbox{X}(1，\tan\alpha)$ ， $\mbox{Y}(1，\tan\beta)$ とおくと， $\mbox{P}(\cos\alpha，\sin\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\cos\beta，\sin\beta)$ となり，
$\tan\beta=k\tan\alpha$
が成立する．このとき
$2\triangle\mbox{OPQ}=2\triangle\mbox{OXY}\cdot\dfrac{\rm OP}{\rm OX}\cdot\dfrac{\rm OQ}{\rm OY}$ $=(k-1)\tan\alpha\cdot\cos\alpha\cdot\cos\beta$ $=(k-1)\cos\beta\sin\alpha$ $=\dfrac{(k-1)\sin\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\beta}}$ $=\dfrac{k-1}{\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{\tan^2\alpha}\right)(1+k^2\tan^2\alpha)}}$ $=\dfrac{k-1}{\sqrt{1+k^2+ k^2\tan^2\alpha+\dfrac{1}{\tan^2\alpha}}}$ $\leqq \dfrac{k-1}{\sqrt{1+k^2+ 2\sqrt{k^2\tan^2\alpha\cdot \dfrac{1}{\tan^2\alpha}}}}$ $=\dfrac{k-1}{\sqrt{1+k^2+ 2k}}$ $=\dfrac{k-1}{k+1}$
（等号は $\tan\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ）
であるから， $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積の最大値は $\dfrac{k-1}{2(k+1)}$ となる．

$2\triangle\mbox{OPQ}=\sin(\beta-\alpha)$ $=\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha$ $=\cos\alpha\cos\beta(\tan\beta-\tan\alpha)$ $=(k-1)\cos\beta\sin\alpha$
としても良い．