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2011年(平成23年)東京工業大学-数学[1]

2024.10.05記

[1] $n$ を自然数とする． $xy$ 平面上で行列 $\begin{pmatrix} 1-n & 1 \\ -n(n+1) & n+2 \end{pmatrix}$ の表す1次変換（移動ともいう）を $f_n$ とする．次の問に答えよ．

(1) 原点 $\mbox{O}(0，0)$ を通る直線で，その直線上のすべての点が $f_n$ により同じ直線上に移されるものが $2$ 本あることを示し，この $2$ 直線の方程式を求めよ．

(2) (1) で得られた $2$ 直線と曲線 $y = x^2$ によって囲まれる図形の面積 $S_n$ を求めよ．

(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S_n-\dfrac{1}{6}}$ を求めよ．

2024.10.05記

[解答]
(1) $\mbox{det}\,A=(\lambda-1)(\lambda-2)=0$ より固有値は $\lambda=1，2$ となる．
対応する固有ベクトルとして $\begin{pmatrix} 1 \\ n \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 \\ n+1 \end{pmatrix}$ がとれるから，原点を通る不動直線は
$y=nx$ ， $y=(n+1)x$
の2本である．

(2) 6分の1公式から $\dfrac{(n+1)^3-n^3}{6}=\dfrac{3n^2+3n+1}{6}$ となる．

(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S_n-\dfrac{1}{6}}$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}\right)=2$ である．

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