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2024.10.07記

[1] 実数 $a$ に対し，積分 $f(a)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} |\sin x-a\cos x|\, dx$ を考える． $f(a)$ の最小値を求めよ．

本問のテーマ

はみだし削り論法

2024.10.07記

[解答]
$\sin x=t$ とおくと $\cos x\, dx=dt$ だから
$f(a)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} |\tan x-a|\, \cos x\, dx$ $=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left|\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}-a\right |\, dt$
となる．ここで $g(t)=\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}$ は $0\leqq t\leqq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で単調増加だから（ $t$ が増加すると $x$ が増加し， $\tan t=\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}$ も増加する），はみだし削り論法により
$a=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$
において $f(a)$ は最小値をとる．このとき
$f(a)=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2\sqrt{2}}} \left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}-\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}\right)\, dt$ $+\displaystyle\int_{\frac{1}{2\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left(\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)\, dt$ $=\Bigl[\sqrt{1-t^2}\Bigr]_0^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ $+\Bigl[-\sqrt{1-t^2}\Bigr]_{\frac{1}{2\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ $=\dfrac{\sqrt{14}}{4}-1+\dfrac{\sqrt{14}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}-1$
となる．