https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/1999/02

2026.02.21.00:46:44記

[2] 斜辺の長さが $1$ である正 $n$ 角錐を考える．
つまり，底面を正 $n$ 角形 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\cdots\mbox{A}_n$ ，頂点を $\mbox{O}$ と表せば $\mbox{OA}_1=\mbox{OA}_1=\cdots=\mbox{OA}_n=1$ である．そのような正 $n$ 角錐のなかで最大の体積をもつものを $C_n$ とする．

(1) $C_n$ の体積 $V_n$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} V_n$ を求めよ．

2026.02.21.00:46:44記

[解答]
(1) 半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の面積を $S_n$ とする．

底面を正 $n$ 角形とし斜辺の長さが $1$ の正 $n$ 角錐の高さを $h$ とすると底面は半径 $\sqrt{1-h^2}$ の円に内接する正 $n$ 角形となるので，その体積は
$\dfrac{\pi}{3}(1-h^2)h\cdot\dfrac{S_n}{\pi}$
となる（ $S_n$ は $h$ によらない）．ここで $3$ 次関数 $f(h)=h-h^3$ は $0\lt h\lt 1$ のとき， $f'(h)=1-3h^2=0$ を満たす $h=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のときに最大値 $\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ をとるので，
$V_n=\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\cdot\dfrac{S_n}{\pi}$ $=\dfrac{2\pi}{9\sqrt{3}}\cdot\dfrac{S_n}{\pi}$ $=\dfrac{2}{9\sqrt{3}}\cdot S_n$
となる．ここで $S_n=n\cdot \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{2\pi}{n}$ であるから，
$V_n=\dfrac{n}{9\sqrt{3}}\sin\dfrac{2\pi}{n}$
となる．

(2) $n\to\infty$ で $S_n\to\pi$ だから $V_n\to\dfrac{2\pi}{9\sqrt{3}}$ である．

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\pi$ を自明なものとせずに $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2\pi}\sin\dfrac{2\pi}{n}=1$ を用いなければならない，という主張は微妙です．この $2$ つの極限はいずれも $\pi$ をどう定義するかと密接な関係があるからです． $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\pi$ は半径 $1$ の円の面積を $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ で定義して（こちらの内測度だけではなく外測度も定義してはさみうちにより極限値が存在する），その値が円周率 $\pi$ に等しいことを表しています．この結果から弧度法による扇形の面積を定義して三角形の面積を利用して $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2\pi}\sin\dfrac{2\pi}{n}=1$ ，つまり $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$ を導く方法もありますし，この流れによらず速度ベクトルを定義し，円の接線と動径が直交することから正弦と余弦の微分を定義し，その比例定数が $1$ となるような角度の測り方を弧度法と定義することによって $(\sin\theta)'=\cos\theta$ を導いてから円の面積を定義することなく $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$ を導く方法もあります．後者の流れから三角関数の積分を利用して単位円の面積が $\pi$ であることを導けば後者から前者が導かれることになります．このようにどう立場をとるかによって定義と定理が入れ換わることがあります．

文科省的高校数学では，（誰もが数学者になる訳でもないので）何を出発点としてどう積み重ねるかというところまではきちんと教えられていないので，どちらを定義としてどちらを定理とすべきかについて神経質になってもしょうがないことはあります（だからと言って採点がどちらでも良いという立場で行われているかどうかはわかりません）．

このいいかげんさとして，例えば高校ではさみうちの原理できちんと定式化していない区分求積法を用いて，左右辺を評価して中辺の極限を求めるという方法は割と良く用いられます（このブログでも使っています）．