https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/1989/04

2023.11.22記

[4] 次の極限値を求めよ．

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx$

本問のテーマ

$f(x) |\sin nx|$ の積分の極限

2023.11.22記
$y=|\sin nx|$ の1周期部分の面積は $y=1$ の同じ区間における面積の $\dfrac{2}{\pi}$ 倍となるので
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} f(x) |\sin nx|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x) dx$
が成立します．まずは証明も含めた解答．

[うまい解答]
区間 $I_k=\left[\dfrac{(k-1)\pi}{n}，\dfrac{k\pi}{n}\right]$ において
$(\min_{I_k} f(x))\cdot \displaystyle\int_{I_k} |\sin nx| dx$ $\leqq \displaystyle\int_{I_k} f(x)|\sin nx| dx$ $\leqq (\max_{I_k} f(x))\cdot \displaystyle\int_{I_k} |\sin nx| dx$
であるから，
$\displaystyle\int_{I_k} f(x) |\sin nx| dx$ $=f(c_k)\displaystyle\int_{I_k} |\sin nx| dx$ $=f(c_k)\cdot\dfrac{2}{n\pi}$
をみたす $c_k\in I_k$ が存在する．

よって
$\displaystyle\int_0^{\pi} f(x) |\sin nx|dx$ $=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f(c_k)$
となり，区分求積法から
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} f(x) |\sin nx|dx$ $=\dfrac{2}{\pi}\cdot\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f(c_k)$ $=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x) dx$
が成立する．

よって求める極限は
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x^2 dx=\dfrac{2\pi^2}{3}$
となる．

次に普通の解法．

[解答]
$nx=t$ と置換すると
$\displaystyle\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx$ $=\dfrac{1}{n^3} \displaystyle\int_0^{n\pi} t^2 |\sin t|dx$
ここで
$I_k=\displaystyle\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} t^2 |\sin t|dx$ $=\left|\displaystyle\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} t^2 \sin tdx\right|$
であり，
$\displaystyle\int t^2\sin t dt = -t^2\cos t + 2t\sin t +2\cos t+C$
であるから，
$I_k=\{k^2+(k-1)^2\}\pi^2-4$ $=(2k^2-2k+1)\pi^2-4$
となり，よって
$\displaystyle\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx$ $=\dfrac{1}{n^3} \displaystyle\sum_{k=1}^n I_k$
$=\dfrac{1}{n^3}\cdot \left\{\left(\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{6}-n(n+1)+n\right)\pi^2-4n\right\}$
となり，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx=\dfrac{2\pi^2}{3}$
となる．

2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1978年(昭和53年)静岡大学-数学[x] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
も参照のこと．

本問の話は例えば

共立出版

の p.321 にある．ちなみに絶対値がなければ
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} f(x) \sin nxdx=0$
となる（正弦波の正負が打ち消しあう，つまり $y=\sin nx$ の1周期部分の積分は $y=1$ の同じ区間における積分の $0$ 倍となるので）．

2025.08.04記
2001年(平成13年)京都大学前期-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
にも述べたように $f(x)$ が単調である場合ははさみうちの原理を用いることができる．個人的には[うまい解法]における平均値の定理がはさみうちの原理の部分に相等しているので十分だと思うのだが，高校の教科書における区分求積法は両端のどちらかで定義することが多いので嫌がる人もいて，その場合はこちらを用いることになる（大学でダルブーによる積分の定義を習うと，区間内のどこでも良いことは習うのだが，，，）

[別解]
$J_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^2|\sin nx|\, dx$ とおく． $x^{2}$ は単調増加であるから
$\dfrac{(k-1)^2\pi^2}{n^2}\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\, dx$ $\leqq \displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} x^2|\sin nx|\, dx$ $\leqq \dfrac{k^2\pi^2}{n^2}\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\, dx$ ，
つまり $\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\, dx=\dfrac{2}{n}$ により
$\dfrac{2(k-1)^2\pi^2}{n^3}$ $\leqq \displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} f(x)|\sin nx|\, dx$ $\leqq \dfrac{2k^2\pi^2}{n^3}$
が成立する．よって
$\dfrac{2\pi^2}{n^3}\cdot\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ $\leqq J_n$ $\leqq \dfrac{2\pi^2}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ，
つまり
$\dfrac{\pi^2}{3}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(2-\dfrac{1}{n}\right)\leqq J_n\dfrac{\pi^2}{3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)$
が成立する． $n\to\infty$ で
$\dfrac{\pi^2}{3}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(2-\dfrac{1}{n}\right)\to\dfrac{2\pi^2}{3}$ ，
$\dfrac{\pi^2}{3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\to\dfrac{2\pi^2}{3}$
であるからはさみうちの原理により， $J_n$ の極限も $\dfrac{2\pi^2}{3}$ となる．