https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/1968/06

2026.02.23.14:47:27記

[6] $3$ 個の関数 $x$ ， $\sin x$ ， $\cos x$ から反復してとることを許して $4$ 個の関数をとり，それらの積をつくる．このようにしてつくられた積 $f(x)$ の定積分 $\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}f(x)\,dx$ のうちで最小なものを求めよ．

本問のテーマ

並び換えの不等式（欲張り者の不等式）の積分形
ベータ関数

2026.02.23.22:18:02記
欲張り者の不等式を考えれば， $p(x)，q(x)$ が単調増加のとき，
$\displaystyle\int_a^b p(x)q(x)\, dx \geqq\int_a^b p(x)q(a+b-x)\, dx$
が成立します．実際 $Q(x)=q(x)-q(a+b-x)$ は単調減少で $x=\dfrac{a+b}{2}$ で点対称ですから， $\dfrac{a+b}{2}\leqq x\leqq b$ で $Q(x)\geqq 0$ であり，同様に $\dfrac{a+b}{2}\leqq x\leqq b$ で $P(x)=p(x)-p(a+b-x)\geqq 0$ です．よって
$\displaystyle\int_a^b p(x)q(x)\, dx-\int_a^b p(x)q(a+b-x)\, dx$ $=\displaystyle\int_{\tfrac{a+b}{2}}^b P(x)Q(x)\, dx\geqq 0$
となります．

[大人の解答]
$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $x，\sin x，\cos x$ は非負であり， $0\lt x$ で $\sin x\lt x$ であるから， $x$ を $\sin x$ に置き換えれば定積分が小さくなるので， $f(x)$ は $\sin x$ と $\cos x$ の積となる．

ここで $\cos x=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ に注意すると
欲張り者の不等式の積分型から
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^3 x\cdot\sin x\, dx\geqq \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^3 x\cdot\cos x\, dx$
$=\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x\sin 2x}{2}\cdot\sin x\, dx$
$\geqq \displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x\sin 2x}{2}\cdot\cos x\, dx$
$=\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^2 x\cdot\cos^2 x\, dx$
であり，
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^4 x\, dx=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^4 x\cdot\sin x\, dx$ ，
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^3 x\cos x\, dx=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^3 x\sin x\, dx$
となるので，定積分が最小となるのは $f(x)=\sin^2x\cos^2x$ となるときで，定積分の値は
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^2 x\cos^2 x\, dx=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos 4x}{8}\, dx$ $=\Bigl[\dfrac{x}{8}-\dfrac{\sin 4x}{32}\Bigr]_0^{\tfrac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{\pi}{16}$
となる．

欲張り者の不等式の部分は， $3$ つの積分の比較なので求めてしまっても良いでしょう．

[解答]
$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $x，\sin x，\cos x$ は非負であり， $0\lt x$ で $\sin x\lt x$ であるから， $x$ を $\sin x$ に置き換えれば定積分が小さくなるので， $f(x)$ は $\sin x$ と $\cos x$ の積となる．

$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^4 x\, dx$ $\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos 2x}{2}+\dfrac{\cos 4x}{8}\right)\, dx$ $=\Bigl[\dfrac{3x}{8}-\dfrac{\sin 2x}{4}+\dfrac{\sin 4x}{32}\Bigr]_0^{\tfrac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{3\pi}{16}$ $=\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^4 x\, dx$ ，
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^3 x\cos x\, dx$ $=\Bigl[\dfrac{\sin 4x}{4}\Bigr]_0^{\tfrac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{1}{4}$ $=\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin x\cos^3 x\, dx$ ，
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^2 x\cos^2 x\, dx=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos 4x}{8}\, dx$ $=\Bigl[\dfrac{x}{8}-\dfrac{\sin 4x}{32}\Bigr]_0^{\tfrac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{\pi}{16}$
であり， $3\lt \pi\lt 4$ であるから $\dfrac{\pi}{16}\lt\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{16}\lt\dfrac{3\pi}{16}$ であるから，最小となる定積分は
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^2 x\cos^2 x\, dx=\dfrac{\pi}{16}$
である．

$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^m x\cos^n x\, dx$ $=B\left(\dfrac{m+1}{2}，\dfrac{n+1}{2}\right)$ により，
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^4 x\, dx$ $=\dfrac{1}{2}B\left(\dfrac{5}{2}，\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{5}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma(3)}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}}{2!}$ $=\dfrac{3\pi}{16}$ ，
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^3 x\cos x\, dx$ $=\dfrac{1}{2}B(2，1)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\Gamma(2)\Gamma(1)}{\Gamma(3)}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1\cdot 1}{2!}$ $=\dfrac{1}{4}$ ，
$\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^2 x\cos^2 x\, dx$ $=\dfrac{1}{2}B\left(\dfrac{3}{2}，\dfrac{3}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right)}{\Gamma(3)}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}}{2!}$ $=\dfrac{\pi}{16}$
です．