https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/1968/04

2026.02.23.14:47:27記

[4] $\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで変わるとき，平面上の $2$ 点 $\mbox{P}(\cos^2\theta，\cos^2\theta)$ ， $\mbox{Q}(\sin^2\theta，-\sin^2\theta)$ を結ぶ直線が通らない点全体の範囲を図示せよ．

本問のテーマ

包絡線

2026.02.23.21:20:13記
直線 $\mbox{PQ}$ は $t=\cos^2\theta$ とおくと $x-t=(2t-1)(y-t)$ となるので，これを $t$ で微分した $-1=2(y-t)-(2t-1)$ ，つまり $t=\dfrac{y+1}{2}$ とから包絡線の方程式は $x-\dfrac{y+1}{2}=y\cdot\dfrac{y-1}{2}$ ，つまり $x=\dfrac{y^2+1}{2}$ となります．この接点の $y$ 座標 $2t-1$ が $-1$ 以上 $1$ 以下となるように直線 $\mbox{PQ}$ が通過するので，求める範囲はこの直線が通過しない範囲となります．

[解答]
直線 $\mbox{PQ}$ の式は $t=\cos^2\theta$ とおくと $x-t=(2t-1)(y-t)$ となるので，これを $t$ で整理した
$f(t)=2t^2-2(y+1)t+x+y=0$ …①
が $0\leqq t\leqq 1$ に実数解を持たない範囲を求めれば良い．

(i) ①が虚数解を持つ：
判別式が負から $x\gt\dfrac{y^2+1}{2}$ となる．

(ii) ①の実数解がともに $1$ よりも大きい：
$x\gt\dfrac{y^2+1}{2}$ かつ $\dfrac{y+1}{2}\gt 1$ かつ $f(1)=x-y\gt 0$ となる．

(iii) ①の実数解がともに $0$ よりも大きい：
$x\gt\dfrac{y^2+1}{2}$ かつ $\dfrac{y+1}{2}\lt 0$ かつ $f(0)=x+y\gt 0$ となる．

(iv) ①の実数解が $0$ 未満と $1$ より大きいの $1$ つずつ：
$f(0)=x+y\lt 0$ かつ $f(1)=x-y\lt 0$ となる．

これらの条件を図示すると次図となる．