https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/1968/03

2026.02.23.14:47:27記

[3] $z=\cos\alpha+i\sin\alpha$ ， $w=\cos\beta+i\sin\beta$ ， $0\leqq\alpha\leqq2\pi$ ， $0\leqq\beta\leqq2\pi$ とするとき $|1+z+w|\leqq1$ を満たす $\alpha$ ， $\beta$ を直交座標とする点 $(\alpha，\beta)$ の範囲を図示せよ．

本問のテーマ

オイラー線（外心，重心，垂心の位置関係）

2026.02.23.19:00:32記

[解答]
$|1+z+w|^2=3+z+\bar{z}+w+\bar{w}+z\bar{w}+w\bar{z}$ $=3+2\cos\alpha+2\cos\beta+2\cos(\beta-\alpha)\leqq 1$
により
$0\geqq \cos\alpha+\cos\beta+1+\cos(\beta-\alpha)$ $=2\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}+2\cos^2\dfrac{\beta-\alpha}{2}$ $=2\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}\left(\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)$ $=4\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\beta}{2}$ ，
つまり
$\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\beta}{2}\leqq 0$ …(★)
となることが必要十分．

$\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\beta}{2}=0$ となるのが $\alpha=\pi$ または $\beta=\pi$ または $\alpha-\beta=\pm\pi$ となることに注意して $\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}，\cos\dfrac{\alpha}{2}，\cos\dfrac{\beta}{2}$ がすべて $0$ でないときには負となるものが $1$ 個または $3$ 個であることに注意すると以下の領域を得る．

(★)から

$\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}=\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ により点 $(\alpha，\beta)$ の範囲は $\beta=\alpha$ について対称であるから， $\alpha\lt\beta$ の場合について考えれば十分．

「 $\alpha=\pi$ または $\beta=\pi$ または $\beta=\alpha+\pi$ …①」のとき(★)の左辺は $0$ となり成立するので，
「 $\alpha\neq\pi$ かつ $\beta\neq\pi$ かつ $\beta\neq \alpha+\pi$ 」とする．

このとき(★)の左辺は負でなければならないが， $0\leqq\dfrac{\beta-\alpha}{2}+\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\beta}{2}\leqq \pi$ であるから，非負の直角とは異なる $\dfrac{\beta-\alpha}{2}，\dfrac{\alpha}{2}，\dfrac{\beta}{2}$ のうち $\dfrac{\pi}{2}$ より大きい高々 $2$ であり，(★)からそれは $1$ つでなければならず，最大角 $\dfrac{\beta}{2}$ のみが $\dfrac{\pi}{2}$ より大きい．つまり
$0\leqq\dfrac{\beta-\alpha}{2}，\dfrac{\alpha}{2}\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $\dfrac{\pi}{2}\lt\dfrac{\beta}{2}\leqq \pi$ …②
となる．

①②より， $\beta\geqq\alpha$ のときの点 $(\alpha，\beta)$ の範囲は $(0，\pi)$ ， $(\pi，\pi)$ ， $(\pi，2\pi)$ からなる三角形の周または内部となる．よって $\beta\leqq\alpha$ のときの点 $(\alpha，\beta)$ の範囲は $(\pi，0)$ ， $(\pi，\pi)$ ， $(2\pi，\pi)$ からなる三角形の周または内部となり，求める範囲はこれら $2$ つの三角形をあわせたものとなる．

と議論しても良いでしょう．

[うまい解答]
複素平面上の単位円に $3$ 点 $p，q，r$ をとるときの $|p+q+r|\leqq 1$ となる条件について考える．

$h=p+q+r$ とすると， $p，q，r$ が三角形をなすとき， $h$ はこの三角形の垂心となる．ここで $p=q$ と仮定すると，三角不等式から $|p+q+r|=|2p+r|\geqq |2p|-|r|=1$ （等号成立は $p=q=-r$ のときで $|p+q+r|=|p|$ ）となるので三角形が単位円の直径につぶれる場合のみ条件を満たす．これは内角が $0，\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2}$ の直角三角形であると考え，垂心が $p=q$ であると考えることにする．

このとき $|h|\leqq 1$ は三角形の垂心が単位円の周または内部にあることと同値であり，よって三角形は鋭角三角形または直角三角形となる．よって $1，z，w$ が鈍角三角形とならない条件を求めれば良く，この3点で分けられる単位円の $3$ つの弧の中心角がいずれも $\pi$ を超えないことであるから

(a) $0\leqq \alpha\leqq \beta\leqq 2\pi$ のとき， $\beta-\alpha\leqq\pi$ ， $\alpha\leqq \pi$ ， $2\pi-\beta\leqq \pi$ ，つまり $0\leqq \alpha\leqq\pi \leqq \beta\leqq 2\pi$ かつ $\beta\leqq \alpha+\pi$ となる．