https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Sizuoka/1978/x

2023.11.27記

$n$ を自然数として，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi}\left| \left(x+\dfrac{\pi}{n}\right)\sin nx\right|dx$
を求めよ．

本問のテーマ

$f(x) |\sin nx|$ の積分の極限

2023.11.27記
1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同様にすれば暗算でできる．

[大人の解答]
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi}\left| \left(x+\dfrac{\pi}{n}\right)\sin nx\right|dx$
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} \left(x+\dfrac{\pi}{n}\right)|\sin nx|dx$
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{\int_0^{\pi} x|\sin nx|dx+\dfrac{1}{n}\int_0^{\pi}\pi|\sin nx|dx\right\}$
であるが，
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} x|\sin nx|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} xdx=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi^2}{2}=\pi$ ，
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} \pi |\sin nx|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \pi dx=\dfrac{2}{\pi}\cdot \pi^2=2\pi$
であるから，
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{\int_0^{\pi} x|\sin nx|dx+\dfrac{1}{n}\int_0^{\pi}\pi|\sin nx|dx\right\}$
$=\pi+0\cdot 2\pi = \pi$
となる．

大人の解答を普通の解答にするには
1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
を真似れば良い．

標準的なはさみうちによる解答はこちら．

[別解]
$I_n=\displaystyle\int_0^{\pi}\left| \left(x+\dfrac{\pi}{n}\right)\sin nx\right|dx$
とおくと $nx=t$ と置換すれば
$I_n=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\int_0^{n\pi} (t+\pi) |\sin t| dt$ $=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} (t+\pi) |\sin t| dt$
となる．ここで
$\displaystyle k\pi \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |\sin t| dt$ $\leqq \displaystyle \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} (t+\pi) |\sin t| dt$ $\leqq \displaystyle (k+1)\pi \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |\sin t| dt$
から
$\displaystyle 2k\pi \leqq \displaystyle \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} (t+\pi) |\sin t| dt$ $\leqq 2(k+1)\pi$
となるので， $2+3+\cdots+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}-1=\dfrac{n(n+3)}{2}$ に注意すると
$\dfrac{n(n+1)\pi}{n^2}\leqq I_n\leqq \dfrac{n(n+3)\pi}{n^2}$
つまり
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\pi\leqq I_n\leqq \left(1+\dfrac{3}{n}\right)\pi$
となり，はさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n=\pi$
となる．