https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Shizuoka/2018-1

2022.12.11記

[1] 実数 $x，y，z$ が次の3つの等式
$x+y+z=0$ ， $x^3+y^3+z^3=3$ ， $x^5+y^5+z^5=15$ ，
を満たしている． $x^2+y^2+z^2=a$ とおくとき，次の問いに答えよ．

(1) $xy+yz+zx$ を $a$ を用いて表せ．

(2) $xyz$ の値を求めよ．

(3) $a$ の値を求めよ．

2022.12.11記
$S_n=x^n+y^n+z^n$
は
2018年(平成30年)浜松医科大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
のように漸化式で求めるのが楽であり覚えておきたいが，根性でもできる．

Todo：調べておこう[解決] - 球面倶楽部零八式 mark II
にあるように $x+y+z=0$ のときには
$\dfrac{S_2}{2}\times\dfrac{S_3}{3}＝\dfrac{S_5}{5}$
が成立するので， $a=2\times\dfrac{3}{3}\times\dfrac{15}{5}=6$ となることがわかる．

$x+y+z=0$ のとき，
$\dfrac{S_l}{l}\times\dfrac{S_m}{m}＝\dfrac{S_n}{n}$ （ $l\leqq m$ ）
が恒等式となるような自然数の組が $(2,3,5)，(2,5,7)$ しかないことの証明は
調べたけど砂漠でプレートを探すようなものだ（解決済） - 球面倶楽部零八式 mark II
にある．

[解答]
$xy+yz+zx=p$ ， $xyz=q$ とおく．

(1) $a=x^2+y^2+z^2=0^2-2p=-2p$ により $xy+yz+zx=p=-\dfrac{a}{2}$

(2) $3=x^3+y^3+z^3=0\cdot (a-p)+3q=3q$ により $xyz=q=1$

(3) $15=x^5+y^5+z^5$
$=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)$ $-x^2y^2(x+y)-y^2z^2(y+z)-z^2x^2(z+x)$
$=3a+x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y$ （∵ $x+y+z=0$ ）
$=3a+xy+yz+zx$ （∵ $xyz=1$ ）
$=\dfrac{5a}{2}$
により， $a=6$ である．

[別解]
(3) 対称式 $x^5+y^5+z^5$ は基本対称式を用いて
$x^5+y^5+z^5$
$=A(x+y+z)^5$ $+B(x+y+z)^3(xy+yz+zx)$ $+C(x+y+z)^2(xyz)$ $+D(x+y+z)(xy+yz+zx)^2$ $+E(xy+yz+zx)(xyz)$
のように表すことができるので，この式が恒等式となるように $A，B，C，D，E$ を定めれば良いが， $x+y+z=0$ より $E$ の値さえ求めれば良い．

ここで $x=y=1$ ， $z=-2$ とおくと
$-30=E\times(-3)\times(-2)$
から $E=-5$ であることがわかる．

よって $x+y+z=0$ のとき
$x^5+y^5+z^5$ $=-5(xy+yz+zx)(xyz)$
が成立し，(1)(2)と条件により
$15$ $=-5\times(-\dfrac{a}{2})\times 1$
となり， $a=6$ である．

なお， $x,y,z$ は $t$ についての3次方程式
$f(t)=t^3-3t-1=0$
の3解であるが， $f(-2)\lt 0$ ， $f(-1)\gt 0$ ， $f(1)\lt 0$ ， $f(2)\gt 0$ により，3次方程式 $f(t)=0$ は相異3実解をもつので，
確かに条件をみたす実数 $x,y,z$ が存在することがわかる．

この答案は
「条件をみたす実数 $x,y,z$ が存在するならば， $a=6$ でなければならない」
というものであり，そのような実数 $x,y,z$ が存在するかどうかは問題にしていないことに注意しよう．それ故，条件をみたす「 $x,y,z$ の存在を確認していないと減点」というおかしな議論にはならない．

なお，もし条件をみたす実数 $x,y,z$ が存在しない場合は
「条件をみたす実数 $x,y,z$ が存在しないので，偽の命題からは任意も命題を導くことができるので，何を書いても正解となる」
ことになってしまうが，受験生はそこまで気にしなくて良い（おそらく出題ミスで大学が叩かれることになる）．

複雑なものが苦手ということなら， $z$ を消去すると次のようになる．

[別解]
$z=-(x+y)$ により与えられた条件は
$3xy(x+y)=-3$ ， $5xy(x^3+y^3)+10(xy)^2(x+y)=-15$ ， $2(x^2+xy+y^2)=a$
となり，整理して
$xy(x+y)=-1$ ， $xy(x^3+y^3)-2(xy)=-3$ ， $x^2+xy+y^2=\dfrac{a}{2}$
が成立する．

(1) $xy+yz+zx=xy-(x+y)^2=-(x^2+xy+y^2)=-\dfrac{a}{2}$

(2) $xyz=-xy(x+y)=1$

(3) $x+y=u$ ， $xy=v$ とおくと
$uv=-1$ ， $v(u^3-3uv)-2v=-3$ ， $u^2-v=\dfrac{a}{2}$
であるから，
$uv=-1$ ， $-u^2+v=-3$ ， $u^2-v=\dfrac{a}{2}$
が成立し，後ろ2つの式から
$\dfrac{a}{2}=3$ ，つまり $a=6$ となる．