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2026.03.13.02:19:13記

[x] $1$ から $n$ （ $n\geqq 5$ ）までの自然数を $1$ つずつ書いたカード $n$ 枚の中から同時に $5$ 枚を引き抜くとき，それらのカードに書いてある数字の最小数を $X$ ，最大数を $Y$ とする．

(1) $X=k$ である確率 $P(X=k)$ （ $k=1，2，…，n-4$ ）を求めよ．また， $l=5，6，…，n$ に対して， $Y=l$ である確率 $P(Y=l)$ と $P(X=n+1-l)$ が等しいことを示せ．

(2) $X$ の期待値 $E(X)$ と $Y$ の期待値 $E(Y)$ の和 $E(X)+E(Y)$ を求めよ．

(3) $Y-X$ の期待値 $E(Y-X)$ と $E(X)$ に対して， $\dfrac{E(Y-X)}{E(X)}$ を求めよ．

(4) $E(X)$ と $E(Y)$ を求めよ．

本問のテーマ

ホッケースティック恒等式
期待値の線型性（和の期待値は期待値の和）

2026.03.13.02:19:13記

[解答]
(1) $P(X=k)=\dfrac{{}_{k-1}\mbox{C}_{4}}{{}_{n}\mbox{C}_{5}}$ ， $P(Y=l)=\dfrac{{}_{n-l}\mbox{C}_{4}}{{}_{n}\mbox{C}_{5}}$ であるから， $P(X=n+1-l)=\dfrac{{}_{(n+1-l)-1}\mbox{C}_{4}}{{}_{n}\mbox{C}_{5}}$ $=P(Y=l)$ となる．

(2) $E(X)+E(Y)$ $=\displaystyle\sum_{k=5}^{n} k\cdot P(X=k)$ $+\displaystyle\sum_{l=1}^{n-4} l\cdot P(Y=l)$ $=\displaystyle\sum_{l=1}^{n-4} (n+1-l)\cdot P(Y=l)$ $+\displaystyle\sum_{l=1}^{n-4} l\cdot P(Y=l)$
$=(n+1)\displaystyle\sum_{l=1}^{n-4} P(Y=l)$ $=n+1$
である．

(3) $Z=X-Y$ とおくと， $Y$ の値は $1〜n-z$ のいずれかで，それに対して $X$ の値は一意に決まり，残り $3$ 枚の札の値は ${}_{n-1}\mbox{C}_3$ 通りであるから
$E(X)-E(Y)$ $=E(Z)$ $=\displaystyle\sum_{z=4}^{n-1} z\cdot\dfrac{(n-z){}_{z-1}\mbox{C}_{3}}{{}_{n}\mbox{C}_{5}}$ $=4\displaystyle\sum_{z=4}^{n-1} (n-z)\cdot \dfrac{{}_{z}\mbox{C}_{4}}{{}_{n}\mbox{C}_{5}}$
であり， $z+l=n$ とおくと
$E(X)-E(Y)$ $=4\displaystyle\sum_{l=1}^{n-4} l\cdot \dfrac{{}_{n-l}\mbox{C}_{4}}{{}_{n}\mbox{C}_{5}}$ $=4\displaystyle\sum_{l=1}^{n-4} l\cdot P(Y=l)$ $=4E(Y)$
が成立する．

以上から $E(X)+E(Y)=n+1$ ， $E(X)=5E(Y)$ となるので， $E(X)=\dfrac{5}{6}(n+1)$ となる．