https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Saitama/2019/Rikou

2023.11.24記

[3] 数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ を
$a_n=\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{j-1}}{j}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}$
$b_n=\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}\dfrac{1}{n+j}$
により定める．次の問いに答えよ．

(1) $b_1，b_2，b_3$ を求めよ．

(2) $a_n=b_n$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）を示せ．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ．

本問のテーマ

メルカトル級数
交代調和級数

2023.11.24記

[解答]
(1) $b_1=\dfrac{1}{2}$ ， $b_2=\dfrac{7}{12}$ ， $b_3=\dfrac{37}{60}$

(2) $a_1=b_1=\dfrac{1}{2}$ であり，
$b_{n+1}-b_n=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}$ $=\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}=a_{n+1}-a_n$
であるから，帰納的に $a_n=b_n$

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{2n}\dfrac{1}{1+j/n}$ $=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{1+x}dx$ $=\log 2$