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2024.08.03記

[2] 四面体 $\mbox{ABCD}$ がある．線分 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{DA}$ 上にそれぞれ点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ がある．点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．

(1) $\mbox{PQ}$ と $\mbox{RS}$ が平行であるとき，等式
$\dfrac{\mbox{AP}}{\mbox{PB}}\cdot\dfrac{\mbox{BQ}}{\mbox{QC}}\cdot\dfrac{\mbox{CR}}{\mbox{RD}}\cdot\dfrac{\mbox{DS}}{\mbox{SA}}=1$
が成り立つことを示せ．

(2) $\mbox{PQ}$ と $\mbox{RS}$ が平行でないとき，等式
$\dfrac{\mbox{AP}}{\mbox{PB}}\cdot\dfrac{\mbox{BQ}}{\mbox{QC}}\cdot\dfrac{\mbox{CR}}{\mbox{RD}}\cdot\dfrac{\mbox{DS}}{\mbox{SA}}=1$
が成り立つことを示せ．

本問のテーマ

空間版メネラウスの定理

2024.08.03記
場合分けが本質的に不要なので，同時に解く方が楽．

[うまい解答]
(1)(2) 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ は四面体のどの頂点とも異なるので， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ は同一直線上になく， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ を含む平面は唯一であり，それが $xy$ 平面となるように座標を設定したときの各点の $z$ 座標を，例えば $\rm A$ の $z$ 座標は $a$ というように小文字で表すことにすると $a\neq 0$ ， $b\neq 0$ ， $c\neq 0$ ， $d\neq 0$ ， $p=q=r=s=0$ であるから，
$\dfrac{\mbox{AP}}{\mbox{PB}}\cdot\dfrac{\mbox{BQ}}{\mbox{QC}}\cdot\dfrac{\mbox{CR}}{\mbox{RD}}\cdot\dfrac{\mbox{DS}}{\mbox{SA}}$ $=\dfrac{|a|}{|b|}\cdot\dfrac{|b|}{|c|}\cdot\dfrac{|c|}{|d|}\cdot\dfrac{|d|}{|a|}=1$
となる．

本問は線分上（両端を除く）なので絶対値で処理をしたが，一周するという感覚からすると有向線分を思い浮べて
$\dfrac{\mbox{AP}}{\mbox{PB}}\cdot\dfrac{\mbox{BQ}}{\mbox{QC}}\cdot\dfrac{\mbox{CR}}{\mbox{RD}}\cdot\dfrac{\mbox{DS}}{\mbox{SA}}$ $=\dfrac{p-a}{b-p}\cdot\dfrac{q-b}{c-q}\cdot\dfrac{r-c}{d-s}\cdot\dfrac{s-d}{a-s}$ $=\dfrac{-a}{b}\cdot\dfrac{-b}{c}\cdot\dfrac{-c}{d}\cdot\dfrac{-d}{a}=1$
と考えれば，線分の外にあっても成立する関係式となる
（同じことを平面のメネラウスで行うと，3つの積となるので右辺が $-1$ となることに注意）．

なお，この定理の逆は同一法によって証明できる．絶対値つきの場合は次のようになる．

平面 $\rm PQR$ を $xy$ 平面とすると
$\dfrac{|a|}{|b|}\cdot\dfrac{|b|}{|c|}\cdot\dfrac{|c|}{|d|}\cdot\dfrac{|d-s|}{|a-s|}=1$
が成立する．ここで $a\lt 0\lt d$ としても一般性を失わず，このとき $a\lt s\lt d$ となるので
$\dfrac{-a}{d}\cdot \dfrac{d-s}{s-a}=1$
つまり
$(a-d)s=0$
となり， $a\neq d$ から $s=0$ ，つまり $\rm S$ は平面 $\rm PQR$ 上にある．

一部界隈ではこの拡張を，「数研通信」の入砂七五三一(いりすなしめいち)氏の一連の記事から，Irisuna の定理と呼んでいたりする．

作者:入砂七五三一
星湖舎