https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2026/SuIII

2026.03.18.12:25:14記

[5] 関数
$f(x)=\displaystyle\int_x^{x+1} \log(4t^2+1)\,dt$
に関して，以下の問いに答えよ．

(1) $f(x)$ が極値をとるときの $x$ の値を求めよ．また，そのときの極値を求めよ．

(2) 極限 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\{f(x)-f(x-1)\}$ を求めよ．

2026.03.18.16:14:21記

[解答]
(1) $f'(x)=\log\dfrac{4(x+1)^2+1}{4x^2+1}$ $=\log\left(1+\dfrac{4(2x+1)}{4x^2+1}\right)$
であるから， $f'(x)$ は $x=-\dfrac{1}{2}$ の前後で符号が負から正に変化する．よって $x=-\dfrac{1}{2}$ で極小値をとる．

極小値は
$f(x)=2\displaystyle\int_0^{\tfrac{1}{2}} \log(4t^2+1)\,dt$
$=2\Bigl[t\log(4t^2+1)\Bigr]_0^{\tfrac{1}{2}}-2\displaystyle\int_0^{\tfrac{1}{2}} \dfrac{8t^2}{4t^2+1}\, dt$
$=2\Bigl[t\log(4t^2+1)\Bigr]_0^{\tfrac{1}{2}}-2\displaystyle\int_0^{\tfrac{1}{2}} 2\, dt$ $+2\displaystyle\int_0^{\tfrac{1}{2}} \dfrac{2}{4t^2+1}\, dt$
$=\log 2-2+2\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{4}} \dfrac{2}{\tan^2\theta+1}\cdot \dfrac{d\theta}{2\cos^2\theta}$
$=\log 2-2+2\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{4}} d\theta$ $=\log 2-2+\dfrac{\pi}{2}$
となる．

(2) 平均値の定理により，
$f(x)-f(x-1)=f'(c)$ （ $x-1\lt c\lt x$ ）なる $c$ が存在し，このとき
$x\{f(x)-f(x-1)\}$ $=xf'(c)=x\log\left(1+\dfrac{4(2c+1)}{4c^2+1}\right)$
となる．ここで
$\dfrac{4(2c+1)}{4c^2+1}=\dfrac{1}{u}$ ，つまり $u=\dfrac{4c^2+1}{8c+4}$ とおくと，
$x\{f(x)-f(x-1)\}$ $=\dfrac{x}{c}\cdot \dfrac{c}{u}\cdot\log\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^u$
である．ここで， $x-1\gt c$ ， $\dfrac{x-1}{x}\lt\dfrac{c}{x}\lt 1$ から $x\to+\infty$ で $c\to +\infty$ ， $\dfrac{x}{c}\to 1$ であり，よって
$u\to +\infty$ ， $\dfrac{c}{u}\to 2$ が成立する．このとき $\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^u\to e$ であるから，
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\{f(x)-f(x-1)\}=1\cdot 2\cdot \log e=2$
となる．

2026.03.25記
$x\{f(x)-f(x-1)\}$ $=\dfrac{x}{c}\cdot cf'(c)$ ですから，本質的に $xf'(x)$ の極限を考えれば良く， $x\to+\infty$ での振舞いを調べたいので
$f’\left(\dfrac{1}{x}\right)=g(x)$ とおくとき $\dfrac{g(x)}{x}$ の $x\to+0$ での振舞いを調べれば良くなります．

[解答]
(2) 平均値の定理により，
$f(x)-f(x-1)=f'(c)$ （ $x-1\lt c\lt x$ ）なる $c$ が存在し，このとき
$x\{f(x)-f(x-1)\}$ $=xf'(c)$ $=\dfrac{x}{c}\cdot cf'(c)$
となる．ここで $x-1\gt c$ ， $\dfrac{x-1}{x}\lt\dfrac{c}{x}\lt 1$ から $x\to+\infty$ で $c\to +\infty$ ， $\dfrac{x}{c}\to 1$ であるから，求める極限は
$\displaystyle\lim_{c\to\infty}cf'(c)$
に等しい．ここで $t=\dfrac{1}{c}$ とおき
$g(t)=f'\left(\dfrac{1}{t}\right)$ $=\log\left(1+\dfrac{4(t^2+2t)}{t^2+4}\right)$
$=\log(5t^2+8t+4)-\log(t^2+4)$
とおくと
$g'(t)=\dfrac{10t+8}{5t^2+8t+4}-\dfrac{2t}{t^2+4}$
であるから，
$\displaystyle\lim_{c\to\infty}cf'(c)$ $=\displaystyle\lim_{t\to+0}\dfrac{g(t)}{t}=g'(0)$ $=\dfrac{8}{4}-\dfrac{0}{4}=2$
となる．