https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2026/SuIII

2026.03.18.12:25:14記

[3] $0\lt r\lt 1$ とする．表が出る確率が $r$ ，裏が出る確率が $1-r$ の硬貨を投げ，表が出た場合は白玉を $2$ つ横並びに置き，裏が出た場合は黒玉を $1$ つ置く．この要領で硬貨を繰り返し投げ，左から右に $1$ 列になるように白玉と黒玉を順に並べていく．
例えば， $3$ 回硬貨を投げ，結果が順に「裏，表，表」であれば，左から順に「黒，白，白，白，白」と $5$ つの玉が並ぶ．
$n$ を自然数とする． $n+2$ 回硬貨を投げたとき，左から $n$ ， $n+1$ ， $n+2$ 番目の玉がすべて黒である確率を $p_n$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $p_1$ ， $p_2$ を求めよ．

(2) $n\geqq 2$ とする． $n+2$ 回硬貨を投げたとき，左から $1$ ， $n$ ， $n+1$ ， $n+2$ 番目の玉がすべて黒である確率を $p_{n-1}$ を用いて表せ．

(3) $n\geqq 3$ のとき， $p_n$ を $p_{n-2}$ ， $p_{n-1}$ を用いて表せ．

(4) $p_n$ を求めよ．

2026.03.18.14:12:31記

[解答]
(1) 左から「黒，黒，黒」となるのは $3$ 回連続裏なので $p_1=(1-r)^3$ である．また左から「白，黒，黒，黒」とはならないので左から $2，3，4$ 番目が黒となるのは「黒，黒，黒，黒」となるしかないので， $p_2=(1-r)^4$ である．

(2) $1$ 回目「黒」が出て，それを除いて左から $n-1，n，n+1$ 番目がすべて黒となるので $(1-r)p_{n-1}$ となる．

(3) $1$ 回目「白」が出て，それを除いて左から $n-2，n-1，n$ 番目がすべて黒となる場合(2)とを合わせて $p_n=(1-r)p_{n-1}+rp_{n-2}$ となる．

(4) $p_n-p_{n-1}=(-r)(p_n-p_{n-1})=(-r)^{n-2}(p_2-p_1)=(-r)^{n-1}(1-r)^3$ ，
$p_n+rp_{n-1}=p_{n-1}+rp_{n-2}=p_2+rp_1＝(1-r)^3$ により
$p_n=\dfrac{(1-r)^3\{1-(-r)^n\}}{1+r}$
となる．

$p_n-p_{n-1}=(-r)(p_n-p_{n-1})$ から $\{p_n-p_{n-1}\}$ は公比 $r$ の等比数列となるので
$p_n-p_1=\dfrac{(p_2-p_1)\{1-(-r)^{n-1}\}}{1+r}$
として求めることもできます．