https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2026/SuIII

2026.03.18.12:25:14記

[2] 点 $z$ が複素数平面上の線分
$z=t+ti$ $\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$
の上を動くとき，
$z^2- wz +1 = 0$
をみたす複素数 $w$ を表す点が描く軌跡を $C$ とする．ただし， $i$ は虚数単位である．以下の問いに答えよ．

(1) 軌跡 $C$ を複素数平面上に図示せよ．

(2) $t=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ のときに複素数 $w$ を表す点を $\mbox{P}_1$ とし， $t=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$ のときに複素数 $w$ を表す点を $\mbox{P}_2$ とする．このとき，軌跡 $C$ ，線分 $\mbox{OP}_1$ ，線分 $\mbox{OP}_2$ で囲まれる領域を虚軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし， $\mbox{O}$ は複素数平面の原点である．

本問のテーマ

ジューコフスキー変換

2026.03.18.13:53:16記
ジューコフスキー変換 $w=z+\dfrac{1}{z}$ による原点を通る半直線（ $\mbox{arg}\, z=(一定)$ ）の像は双曲線となります．

[解答]
$w=x+yi$ とおくと， $z=t+ti$ により $w=\left(t+\dfrac{1}{2t}\right)+\left(t-\dfrac{1}{2t}\right)i$ であるから，
$x=t+\dfrac{1}{2t}$ ， $y=t-\dfrac{1}{2t}$ $\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$ となるので，
$x^2-y^2=2$ ， $x\gt 0$ ， $\sqrt{3}-i\leqq y\leqq \sqrt{3}+i$ （双曲線の一部）
となる（図示略）

(2) 求める体積 $V$ は
$V=\displaystyle\int_{-1}^1 \pi x^2\, dy -2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot \sqrt{3}^2\cdot 1$
$=2\pi\Bigl[\dfrac{y^3}{3}+2y\Bigr]_{0}^1-2\pi$ $=\dfrac{8}{3}\pi$
となる．