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2026年(令和8年)九州大学前期-数学III[1]

2026.03.18.12:25:14記

[1] 座標空間内で，原点 $\mbox{O}$ を中心とする半径 $3$ の球を $S$ とする．また，点 $\mbox{P}(1，0，\sqrt{3})$ を考え， $T_1$ と $T_2$ を直線 $\mbox{OP}$ と直交する相異なる $2$ つの平面とする． $T_1$ と $S$ の共通部分を $C_1$ ， $T_2$ と $S$ の共通部分を $C_2$ とし，次の $2$ つの条件をみたすとする．

・ $C_1$ と $C_2$ はどちらも半径 $1$ の円である．

・ $C_1$ の中心の $z$ 座標は正で， $C_2$ の中心の $z$ 座標は負である．

以下の問いに答えよ。

(1) 円 $C_1$ ， $C_2$ の中心の座標を求めよ．

(2) 円 $C_1$ ， $C_2$ を底面とする円柱の側面を平面 $z=0$ で切る．その切り口の曲線の方程式を求めよ．また，その曲線を図示せよ．

2026.03.18.13:29:01記

[解答]
(1) 原点と $T_1$ ， $T_2$ の距離は $\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$ であるから， $C_1$ と $C_2$ の中心は
$\pm (1，0，\sqrt{3})\times\dfrac{2\sqrt{2}}{2}$ $=\pm(\sqrt{2}，0，\sqrt{6})$ となる．よって
$C_1$ の中心は $(\sqrt{2}，0，\sqrt{6})$ ， $C_2$ の中心は $(-\sqrt{2}，0，-\sqrt{6})$ である．

(2) 切り口は半径 $1$ の円柱を軸とのなす角度が $30^{\circ}$ の平面で切ったものであるから短半径 $1$ ，長半径 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ の楕円であるから $\dfrac{x^2}{4/3}+y^2=1$ となる（図示略）．

よって
と $C_2$ の中心は

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