https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2026/SuIII

2026.03.18.12:25:14記

[1] 座標空間内で，原点 $\mbox{O}$ を中心とする半径 $3$ の球を $S$ とする．また，点 $\mbox{P}(1，0，\sqrt{3})$ を考え， $T_1$ と $T_2$ を直線 $\mbox{OP}$ と直交する相異なる $2$ つの平面とする． $T_1$ と $S$ の共通部分を $C_1$ ， $T_2$ と $S$ の共通部分を $C_2$ とし，次の $2$ つの条件をみたすとする．

・ $C_1$ と $C_2$ はどちらも半径 $1$ の円である．

・ $C_1$ の中心の $z$ 座標は正で， $C_2$ の中心の $z$ 座標は負である．

以下の問いに答えよ。

(1) 円 $C_1$ ， $C_2$ の中心の座標を求めよ．

(2) 円 $C_1$ ， $C_2$ を底面とする円柱の側面を平面 $z=0$ で切る．その切り口の曲線の方程式を求めよ．また，その曲線を図示せよ．

[2] 点 $z$ が複素数平面上の線分
$z=t+ti$ $\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$
の上を動くとき，
$z^2- wz +1 = 0$
をみたす複素数 $w$ を表す点が描く軌跡を $C$ とする．ただし， $i$ は虚数単位である．以下の問いに答えよ．

(1) 軌跡 $C$ を複素数平面上に図示せよ．

(2) $t=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ のときに複素数 $w$ を表す点を $\mbox{P}_1$ とし， $t=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$ のときに複素数 $w$ を表す点を $\mbox{P}_2$ とする．このとき，軌跡 $C$ ，線分 $\mbox{OP}_1$ ，線分 $\mbox{OP}_2$ で囲まれる領域を虚軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし， $\mbox{O}$ は複素数平面の原点である．

[3] $0\lt r\lt 1$ とする．表が出る確率が $r$ ，裏が出る確率が $1-r$ の硬貨を投げ，表が出た場合は白玉を $2$ つ横並びに置き，裏が出た場合は黒玉を $1$ つ置く．この要領で硬貨を繰り返し投げ，左から右に $1$ 列になるように白玉と黒玉を順に並べていく．
例えば， $3$ 回硬貨を投げ，結果が順に「裏，表，表」であれば，左から順に「黒，白，白，白，白」と $5$ つの玉が並ぶ．
$n$ を自然数とする． $n+2$ 回硬貨を投げたとき，左から $n$ ， $n+1$ ， $n+2$ 番目の玉がすべて黒である確率を $p_n$ とする．以下の問いに答えよ．