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2026年(令和8年)九州大学前期-数学IIB[3]

2026.03.18.記

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) $\sqrt{2}$ が無理数であることを示せ．

(2) $n$ を自然数とする． $(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n$ が整数となるための， $n$ がみたすべき必要十分条件を求めよ．

2026.03.18.17:20:35記

[解答]
(1) $\sqrt{2}$ が有理数と仮定すると $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ （ $p，q$ は互いに素な正の整数）と表すことができる．このとき $2q^2=p^2$ となるので $p$ は偶数で $p=2p'$ とおくと， $q^2=2(p')^2$ となり， $q$ も偶数となる．これは $p，q$ は互いに素な正の整数であることに矛盾する．よって $\sqrt{2}$ は無理数である．

(2) $a_n=(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n$ は漸化式 $a_1=2\sqrt{2}$ ， $a_2=6$ ， $a_{n+2}=2\sqrt{2}a_{n+1}-a_n$ を満たす．
ここで $a_{2m}=p_m$ ， $a_{2m-1}=q_m\sqrt{2}$ とおくと $p_1=6$ ， $q_1=2$ であり，
$q_{m+1}\sqrt{2}=a_{2m+1}=2\sqrt{2}p_m-q_m\sqrt{2}$ から $q_{m+1}=2p_m-q_m$ ，
$p_{m+1}=a_{2m+2}=4q_{m+1}-p_m$ $=7p_m-4q_m$
が成立するので帰納的に $p_m，q_m$ は整数となる．よって求める必要十分条件は $n$ が偶数であることである．

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