https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2026/SuIIB

2026.03.18.記

[2] 座標空間内の $4$ 点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(1，1，1)$ ， $\mbox{B}(2，2，0)$ ， $\mbox{C}(4，2，2)$ と球面
$S:\, (x- 1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=1$
を考える． $3$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を通る平面を $\alpha$ とする．また，点 $\mbox{P}$ は $S$ 上にあり，以
下の $2$ つの条件をみたすとする．

・直線 $\mbox{OP}$ は $\alpha$ と直交する．

・点 $\mbox{P}$ の $y$ 座標は $-1$ 以下である．

以下の問いに答えよ．

(1) $\mbox{P}$ の座標を求めよ．

(2) $\mbox{P}$ から $\alpha$ に下ろした垂線との交点を $\mbox{H}$ とする．このとき
$\overrightarrow{\mbox{OH}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+s\overrightarrow{\mbox{AB}}+t\overrightarrow{\mbox{AC}}$
をみたす実数 $s，t$ を求めよ．

(3) 四面体 $\mbox{ABCP}$ の体積を求めよ．

2026.03.18.16:51:09記

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{AB}}=(1，1，-1)$ と $\overrightarrow{\mbox{BC}}=(2，0，2)$ の両方に垂直なベクトルとして $(1，-2，-1)$ を取ることができるので $\mbox{P}(t，-2t，-t)$ とおくことができ，これが $S$ 上にあることから $(t-1)^2+(2t-1)^2+(t-1)^2=1$ となり $t=\dfrac{1}{3}，1$ となる．点 $\mbox{P}$ の $y$ 座標は $-1$ 以下であるから $t=1$ となり $\mbox{P}(1，-2，-1)$ となる．

(2) $\overrightarrow{\mbox{OH}}$ $=\overrightarrow{\mbox{OA}}+s\overrightarrow{\mbox{AB}}+t\overrightarrow{\mbox{AC}}$ と
$\overrightarrow{\mbox{AB}}=(1，1，-1)$ ， $\overrightarrow{\mbox{AC}}=(3，1，1)$ の内積をとることにより $0=1+3s+3t$ ， $0=5+3s+11t$ となるので， $s=\dfrac{1}{6}$ ， $t=-\dfrac{1}{2}$ となる．

(3) (2)より $\overrightarrow{\mbox{OH}}=\left(-\dfrac{1}{3}，\dfrac{2}{3}，\dfrac{1}{3}\right)$ となるので $\overrightarrow{\mbox{PH}}=\left(-\dfrac{4}{3}，\dfrac{8}{3}，\dfrac{4}{3}\right)$ となり， $\mbox{PH}=\dfrac{4}{3}\sqrt{6}$ となる．また $\triangle\mbox{ABC}$ $=\dfrac{1}{2}\sqrt{3\cdot 11-3^2}=\sqrt{6}$ であるから求める体積は
$\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\dfrac{4}{3}\sqrt{6}=\dfrac{8}{3}$
となる．

(2) 正射影ベクトルを用いることにより， $\overrightarrow{\mbox{PA}}=(0，3，2)$ を $(1，-2，-1)$ に射影すると　 $\overrightarrow{\mbox{PH}}=\dfrac{-8}{6}(1，-2，-1)$ が直接得られます．

[大人の解答]
(3) $\dfrac{1}{6}\mbox{det}\,\left(\overrightarrow{\mbox{AB}}，\overrightarrow{\mbox{AC}}，\overrightarrow{\mbox{AP}}\right)$ $=\dfrac{1}{6}\mbox{det}\,\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{6}\mbox{det}\,\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 4 & -2 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{6}\cdot 1\cdot (4-12)=-\dfrac{8}{3}$ により求める体積は $\dfrac{8}{3}$ である．