https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2026/SuIIB

2026.03.18.12:37:06記

[1] 以下の問いに答えよ．

(1) 関数 $f(x)=2x^3+3x^2-36x+1$ が極値をとるときの $x$ の値を求めよ．また，そのときの極値を求めよ．

(2) 座標平面上の曲線 $C:\, y=|x^2-1|$ と，点 $(-1，0)$ を通る傾き $1$ の直線 $l$ を考える． $C$ と $l$ で囲まれる領域の面積を求めよ．

[2] 座標空間内の $4$ 点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(1，1，1)$ ， $\mbox{B}(2，2，0)$ ， $\mbox{C}(4，2，2)$ と球面
$S:\, (x- 1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=1$
を考える． $3$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を通る平面を $\alpha$ とする．また，点 $\mbox{P}$ は $S$ 上にあり，以
下の $2$ つの条件をみたすとする．

・直線 $\mbox{OP}$ は $\alpha$ と直交する．

・点 $\mbox{P}$ の $y$ 座標は $-1$ 以下である．

以下の問いに答えよ．

(1) $\mbox{P}$ の座標を求めよ．

(2) $\mbox{P}$ から $\alpha$ に下ろした垂線との交点を $\mbox{H}$ とする．このとき
$\overrightarrow{\mbox{OH}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+s\overrightarrow{\mbox{AB}}+t\overrightarrow{\mbox{AC}}$
をみたす実数 $s，t$ を求めよ．

(3) 四面体 $\mbox{ABCP}$ の体積を求めよ．

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) $\sqrt{2}$ が無理数であることを示せ．

(2) $n$ を自然数とする． $(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n$ が整数となるための， $n$ がみたすべき必要十分条件を求めよ．

[4] $0\lt r\lt 1$ とする．表が出る確率が $r$ ，裏が出る確率が $1-r$ の硬貨を投げ，表が出た場合は白玉を $2$ つ横並びに置き，裏が出た場合は黒玉を $1$ つ置く．この要領で硬貨を繰り返し投げ，左から右に $1$ 列になるように白玉と黒玉を順に並べていく．
例えば， $3$ 回硬貨を投げ，結果が順に「裏，表，表」であれば，左から順に「黒，白，白，白，白」と $5$ つの玉が並ぶ．
$n$ を自然数とする． $n+2$ 回硬貨を投げたとき，左から $n$ ， $n+1$ ， $n+2$ 番目の玉がすべて黒である確率を $p_n$ とする．以下の問いに答えよ．