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2025年(令和7年)九州大学前期-数学III[5]

2025.03.07記

[5] 1個のさいころを3回続けて投げ，出る目を順に $a，b，c$ とする．整式
$f(x)=(x^2-ax+b)(x-c)$
について，以下の問いに答えよ．

(1) $f(x)=0$ をみたす実数 $x$ の個数が1個である確率を求めよ．

(2) $f(x)=0$ をみたす自然数 $x$ の個数が3個である確率を求めよ．

2025.03.09記

[解答]
(1) $x^2-ax+b=0$ が虚数解となるのは $a^2\lt 4b$ により
$b=1$ で $a=1$ ， $b=2$ で $a=1，2$ ， $b=3$ で $a=1〜3$ ， $b=4$ で $a=1〜3$ ， $b=5$ で $a=1〜4$ ， $b=6$ で $a=1〜4$ の17通りだから，これらに $c=1〜6$ の場合を考えて $102$ 通り．

$x^2-ax+b=0$ が $c$ で重解となるのは， $c=1$ のとき $a=2，b=1$ ， $c=2$ のとき $a=4，b=4$ の2通りである．

よって求める確率は $\dfrac{102+2}{6^3}=\dfrac{13}{27}$ である．

(2) $x^2-ax+b=0$ の異なる自然数解を $p，q$ とおくと $b=pq(\leqq 6)$ ， $a=p+q(\leqq 6)$ であるから
$(p，q)=(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)$ （それぞれに対する $a，b$ は1通りずつ）
であり，よって $c=1$ のとき1通り， $c=2$ のとき3通り， $c=3$ のとき3通り， $c=4$ のとき4通り， $c=5$ のとき4通り， $c=6$ のとき5通り，の合計20通りであるから求める確率は $\dfrac{20}{6^3}=\dfrac{5}{54}$ である．

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