https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2025/SuIII

2025.03.07記

[4] 半径1の円周上に反時計回りに点 $\rm A，B，C，D$ を順にとり，線分 $\mbox{AD}$ は直径で， $\mbox{AC}=\mbox{CD}$ ， $\mbox{AB}=\mbox{BC}$ が成り立つとする．

(1) $\angle\mbox{ACB}$ を求めよ．

(2) $\mbox{BC}$ を求めよ．

(3) 線分 $\mbox{AC}$ と線分 $\mbox{BD}$ の交点を $\mbox{E}$ とするとき，三角形 $\mbox{BCE}$ の面積を求めよ．

2025.03.09記

[解答]

(1) $\angle\mbox{ACB}$ $(弧 \mbox{AB} の円周角)$ $=\dfrac{\pi}{8}$ である．

(2) $\mbox{BC}$ $=\mbox{AB}$ $=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}$ $=\sqrt{ 2-\sqrt{2}}$ である．

(3) $\triangle\mbox{ABC}$ $=2\triangle\mbox{OAB}-\triangle\mbox{OAC}=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$ であり，角の2等分線の性質から $\mbox{AE}:\mbox{EC}=2:\sqrt{2}$ であるから，
$\triangle\mbox{EBC}$ $=\triangle\mbox{ABC}\cdot\dfrac{\rm EC}{\rm AC}$ $=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$ $=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$
となる．

座標に置くなら円周を $x^2+y^2=1$ とおき， $\mbox{A}(1，0)$ ， $\mbox{B}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ， $\mbox{C}(0，1)$ ， $\mbox{D}(-1，0)$ とおけば良く，このとき $\mbox{E}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}，\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\right)$ となる．