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2025年(令和7年)九州大学前期-数学III[3]

2025.03.07記

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) $n$ を整数とするとき， $n^2$ を8で割った余りは $0，1，4$ のいずれかであることを示せ．

(2) $2^m=n^2+3$ をみたす0以上の整数の組 $(m，n)$ をすべて求めよ．

2025.03.07記

[解答]
(1) $n$ を8で割った余りが $0，1，2，3，4，5，6，7$ とするとき， $n^2$ を8で割った余りは $0，1，4，1，0，1，4，1$ となるので， $0，1，4$ のいずれかである．

(2) $n^2+3\geqq 4$ より $m\geqq 2$ であるから $2^m$ は $4$ の倍数である．よって(1)より $n$ は奇数であるから，
$n=2k+1$ （ $k$ は $k\geqq 0$ なる整数）と置くことができ， $m=M+2$ とおくと
$2^M=k^2+k+1$
が成立するが， $k(k+1)$ は連続2整数の積であるから偶数となることに注意すると右辺は奇数となるので， $M=0$ ， $k=-1，0$ となり， $k\geqq 0$ より $(M，k)=(0，0)$ となる．よって $(m，n)=(2，1)$ に限る．

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