https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2025/SuIII

2025.03.07記

[2] 以下の問いに答えよ．

(1) $y=\tan x$ とするとき， $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ を $y$ の整式で表せ．

(2) 次の定積分を求めよ．
$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{4}\dfrac{\tan^4x-\tan^2x-2}{\tan^2x-4}\, dx$

2025.03.07記
この手の問題は $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ と $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ を用いるが，それが(1)の誘導．

[解答]
(1) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2x=1+y^2$ となる．

(2) $\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{4}\dfrac{\tan^4x-\tan^2x-2}{\tan^2x-4}\, dx$ $=\displaystyle\int_0^1\dfrac{y^4-y^2-2}{y^2-4}\cdot\dfrac{dy}{1+y^2}$ $=\displaystyle\int_0^1\left\{1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{y-2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{y+2}\right\}\,dy$ $=1+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\log\dfrac{3}{2}$ $=1-\dfrac{1}{2}\log 3$ となる．