2025年(令和7年)九州大学前期-数学III

[1] 座標空間内の3点 ，， を通る平面を とする．点 を通り に垂直な直線と 平面との交点を とする．

(1) 点 の座標を求めよ．

(2) がすべての実数値をとって変化するときの の最小値が1以下となるような の条件を求めよ．ただし， は原点である．

[2] 以下の問いに答えよ．

(1) とするとき， を の整式で表せ．

(2) 次の定積分を求めよ．

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) を整数とするとき， を8で割った余りは のいずれかであることを示せ．

(2) をみたす0以上の整数の組 をすべて求めよ．

[4] 半径1の円周上に反時計回りに点 を順にとり，線分 は直径で，， が成り立つとする．

(1) を求めよ．

(2) を求めよ．

(3) 線分 と線分 の交点を とするとき，三角形 の面積を求めよ．

[5] 1個のさいころを3回続けて投げ，出る目を順に とする．整式

について，以下の問いに答えよ．

(1) をみたす実数 の個数が1個である確率を求めよ．

(2) をみたす自然数 の個数が3個である確率を求めよ．