https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2025/SuIIB

2025.03.09記

[2] 半径1の円周 $C$ 上の2点 $\mbox{A}，\mbox{B}$ は $\mbox{AB}=\sqrt{3}$ をみたすとする．
点 $\mbox{P}$ が円周 $C$ 上を動くとき， $\mbox{AP}^2+\mbox{BP}^2$ の最大値を求めよ．

2025.03.09記

[解答]
円の中心を $\rm O$ ， $\rm AB$ の中点を $\rm M$ とすると中線定理により
$\mbox{AP}^2+\mbox{BP}^2$ $=2\mbox{MP}^2+2\mbox{AM}^2$ $=2\mbox{MP}^2+\dfrac{3}{2}$
である．ここで $=\mbox{AM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であり， $\mbox{OM}=\dfrac{1}{2}$ であるから $\mbox{MP}\leqq \mbox{MO}+\mbox{OP}=\dfrac{3}{2}$ となるので
$\mbox{AP}^2+\mbox{BP}^2$ $\geqq 2\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}$ $=6$
となる．