2025年(令和7年)九州大学前期-数学IIB[1]

2025.03.09記

[1] 2つの曲線
$y=x^3+x^2-x-1，y=x^2$
の両方に接するすべての直線の方程式を求めよ．

2025.03.09記

[解答]
$y=x^3+x^2-x-1$ の $x=t$ における接線の方程式は
$y=(3t^2+2t-1)x-(2t^3+t^2+1)$
であり，これが $y=x^2$ に接するので
$x^2-(3t^2+2t-1)x+(2t^3+t^2+1)=0$
の判別式は0となる．よって
$(3t^2+2t-1)^2-4(2t^3+t^2+1)=0$ ，
つまり
$(t-1)(t+1)(9t^2+4t+3)=0$
となる．ここで $9t^2+4t+3=0$ の判別式は負だから
$t=-1，1$
となり，よって求める接線は $y=0$ ， $y=4x-4$ となる．

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