https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2024/SuIII

2024.03.25記

[5] 自然数 $m$ ， $n$ に対して
$I(m，n)=\displaystyle\int_1^e x^m e^x (\log x)^n\, dx$
とする．以下の問いに応えよ．

(1) $I(m+1，n+1)$ を $I(m，n+1)$ ， $I(m，n)$ ， $m$ ， $n$ を用いて表せ．

(2) すべての自然数 $m$ に対して， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} I(m，n)=0$ が成り立つことを示せ．

2024.03.25記(2024/03/25/231430)

[解答]
(1) $I(m+1,n+1)=\Bigl[ e^x x^{m+1}(\log x)^{n+1}\Bigr]_1^e$
$-\displaystyle\int_1^e e^x\left\{(m+1)x^m(\log x)^{n+1}+(n+1)x^m(\log x)^{n}\cdot\dfrac{1}{x} \right\}dx$ $=e^{e+m+1}-(m+1)I(m+1,n+1)-(n+1)I(m,n)$
が成立する．

(2) $1\lt x\lt e$ で
$e^x x^{m+1}(\log x)^{n+1}\gt 0$
より，任意の自然数 $m$ ， $n$ に対して
$I(m,n)\gt 0$
であり，(1) より
$I(m+1,n+1)+(m+1)I(m+1,n+1)+(n+1)I(m,n)$ $=e^{e+m+1}\gt 0$
であるから，
$0\lt I(m,n)\lt\dfrac{e^{e+m+1}}{n+1}$
が成立する， $n\to\infty$ で
$\dfrac{e^{e+m+1}}{n+1}\to 0$
であるから，はさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} I(m,n)=0$
が任意の自然数 $m$ について成立する．