https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2024/SuIII

2024.03.25記

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) 自然数 $a$ ， $b$ が $a\lt b$ をみたすとき， $\dfrac{b!}{a!}\geqq b$ が成り立つことを示せ．

(2) $2\cdot a!=b!$ をみたす自然数の組 $(a，b)$ をすべて求めよ．

(3) $a!+b!=2\cdot c!$ をみたす自然数の組 $(a，b，c)$ をすべて求めよ．

2024.03.25記(2024/03/25/103641)

[解答]
(1) $a\leqq b-1$ であるから， $\dfrac{b!}{a!}\geqq \dfrac{b!}{(b-1)!}=b$ である．

(2) 自然数の階乗は正の値をとり， $2\cdot a!=b!$ より $b\gt a(\geqq 1)$ だから，(1) より
$2=\dfrac{b!}{a!}\geqq b\gt 1$
となり， $b=2$ ， $a=1$ となる．よって $(a，b)=(1，2)$ のみである．

(3) (i) $a=b$ の場合： $2\cdot a!= 2\cdot c!$ により $a=c$ となり
$(a，b，c)$ $=(n，n，n)$ （ $n$ は任意の自然数）

(ii) $a\lt b$ の場合： $2\cdot c!=a!+b!\lt 2\cdot b!$ であるから $c\lt b$ となる．

このとき(1)と $b!=2\cdot c!-a!<2\cdot c!$ から
$b\leqq \dfrac{b!}{c!}\lt 2$
となり $b\leqq 1$ であり，よって $a\lt b\leqq 1$ をみたす自然数 $a$ は存在しない．

$a\lt b$ の場合：同様に存在しない。

以上から，
$(a，b，c)$ $=(n，n，n)$ （ $n$ は任意の自然数）

2024.05.26記
PASSLABO の動画関連で，本問(3)を

「ガンマ関数が下に凸だから $\dfrac{\Gamma(a+1)+\Gamma(b+1)}{2}=\Gamma(c+1)$ で凸不等式の等号成立条件から $a=b=c$ 」

とか言っているのを見たが、これは単なる十分条件なので間違い．本問を凸不等式だけで解くことはできず $a,b,c$ が正の整数であるという条件が必ず必要である．

$a,b,c$ が非負整数で良ければ $0!=1$ であるから $(a,b,c)=(0,1,1),(0,1,0)$ という解が存在することからもわかり，この解を排除するには凸不等式のみの議論では不可能である．

ガンマ関数には $x\geqq 1.46\cdots$ の範囲で逆関数 $\Gamma^{-1}$ が存在するので
$a,b\geqq 0.46\cdots$ をみたす任意の実数 $a,b$ に対して
$c=\Gamma^{-1}\left(\dfrac{\Gamma(a+1)+\Gamma(b+1)}{2}\right)-1$
のように条件をみたす実数 $c$ が必ず存在するので「ガンマ関数を用いて凸不等式」だけで本問を解くことは不可能である． $a=b=c$ に限る解を導くためには $a,b,c$ は非負整数であるという条件が必ず必要となる
（例えば $a!\lt c!\lt b!$ から $a\lt c\lt b$ を導くのに $a,b,c\geqq 0.46\cdots$ という条件が必要である）．