https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2024/SuIII

2024.03.25記

[2] 整式 $f(z)=z^6+z^4+z^2+1$ について，以下の問いに答えよ．

(1) $f(z)=0$ をみたすすべての複素数 $z$ に対して， $|z|=1$ が成り立つことを示せ．

(2) 次の条件をみたす複素数 $w$ をすべて求めよ．

条件： $f(z)=0$ をみたすすべての複素数 $z$ に対して $f(wz)=0$ が成り立つ．

2024.03.25記(2024/03/25/100133)

[解答]
(1) $f(z)=0$ ならば $(z^2-1)f(z)=z^8-1=0$ が成り立つので $|z|=1$ が成り立つ．

(2) 6次方程式 $f(z)=0$ の解は $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくと，(1)より $8\theta$ が $2\pi$ の整数倍で $z\neq \pm1$ であるから，
$\theta=\dfrac{k}{4}\pi$ （ $k=1,2,3,5,6,7$ ）
の6つである．この6個の複素数を同じ6個の複素数に移すような原点中心の回転拡大は，正8角形の連続する3つの頂点がどこに移るかを考えれば恒等変換か180度回転に限ることがわかるので $w=1,-1$ の2つである．