https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2024/SuIII

2024.03.25記

[1] $a$ を実数とし，座標空間内の $3$ 点 $\mbox{P}(-1，1，-1)$ ， $\mbox{Q}(1，1，1)$ ， $\mbox{P}(a，a^2，a^3)$ を考える．以下の問いに答えよ．

(1) $a\neq 1$ ， $a\neq -1$ のとき， $3$ 点 $\rm P$ ， $\rm Q$ ， $\rm R$ は一直線上にないことを示せ．

(2) $a$ が $-1\lt a\lt 1$ の範囲を動くとき，三角形 $\rm PQR$ の面積の最大値を求めよ．

2024.03.25記(2024/03/25/230421)

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=(2，0，2)^{\top}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PR}}=(a+1，a^2-1，a^3+1)^{\top}$ であるから，
$\overrightarrow{\mbox{PR}}\times \overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=2(a^2-1)(1,a,-1)^{\top}$
となる．よって
$\triangle\rm PQR$ $=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mbox{PR}}\times\overrightarrow{\mbox{PQ}}|$ $=|a^2-1|\sqrt{2+a^2}$
が成立する．

(1) $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ が同一直線上にあることと $\triangle\rm PQR=0$ は同値であり，それは $a^2\neq 1$ と同値である．よって題意は示された．

(2) $\triangle\rm PQR^2$ $=(a^2-1)^2(a^2+2)$ は $a^2$ についての3次関数であり，3次関数の形状から $0\leqq a^2\lt 1$ において $a^2=0$ のときに最大値 $2$ をとる．よって $\triangle\rm PQR$ の最大値は $\sqrt{2}$ である．