2024年(令和6年)九州大学前期-数学III

[1] を実数とし，座標空間内の 点 ，， を考える．以下の問いに答えよ．

(1) ， のとき， 点 ，， は一直線上にないことを示せ．

(2) が の範囲を動くとき，三角形 の面積の最大値を求めよ．

[2] 整式 について，以下の問いに答えよ．

(1) をみたすすべての複素数 に対して， が成り立つことを示せ．

(2) 次の条件をみたす複素数 をすべて求めよ．

条件： をみたすすべての複素数 に対して が成り立つ．

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) 自然数， が をみたすとき， が成り立つことを示せ．

(2) をみたす自然数の組 をすべて求めよ．

(3) をみたす自然数の組 をすべて求めよ．

[4] を 以上の整数とする．座標平面上の点のうち， 座標と 座標がともに 以上 以下の整数であるものを考える．これら 個の点のうち 点以上を通る直線の個数を とする．以下の問いに答えよ．

(1) を求めよ．

(2) を求めよ．

(3) を求めよ．

[5] 自然数 ， に対して

とする．以下の問いに応えよ．

(1) を ，，， を用いて表せ．

(2) すべての自然数 に対して， が成り立つことを示せ．