https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2024/Kouki

2024.12.09記

[4] 曲線 $C:y=(1-x^2)^2$ と，曲線 $C$ 上の点 $\mbox{P}(k，(1-k^2)^2)$ を考える．ただし， $k$ は正の実数とする．また点 $\rm P$ における曲線 $C$ の接線を $l$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) 接線 $l$ の方程式を求めよ．

(2) $k\neq 1$ とする．点 $\rm P$ および点 $\rm P$ とは異なる1点でのみ曲線 $C$ と接線 $l$ が交わるとき， $k$ の値を求めよ．

(3) $k$ が(2)で求めた値のとき，曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

2024.10.04記
(2) この4次関数の二重接線は除外されているので，変曲点における接線が条件を満たします（4次方程式の解が単解と三重解となる場合）．

[解答]
(1) $f(x)=(1-x^2)^2$ とおくと $l$ の方程式は
$y=f'(k)(x-k)+f(k)$ $=-4k(1-k^2)(x-k)+(1-k^2)^2$ $=-4k(1-k^2)x+(1-k^2)(1+3k^2)$ ，
つまり
$y=-4k(1-k^2)x+(1-k^2)(1+3k^2)$
となる．

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は $f(x)=f'(k)(x-k)+f(k)$ の実数解である．この $x$ についての4次方程式は
$(1-x^2)^2+4k(1-k^2)x-(1-k^2)(1+3k^2)$ $=x^4-2x^2+4k(1-k^2)x+6k^4-2k^2$ $=(x-k)^2(x^2+2kx+3k^2-2)=0$
となる．ここで
$x^2+2kx+3k^2-2=0$
が重解をもつのは判別式から $2-2k^2=0$ ， $k\gt 0$ より $k=1$ でなければならないが， $k\neq 1$ より重解をもたない．よって $x^2+2kx+3k^2-2=0$ が $k$ と「 $k$ でない」解を1つずつ持てば良い．

$x^2+2kx+3k^2-2=0$ が $x=k$ を解に持つので $k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となり，このとき残りの解は，解と係数の関係により $-\sqrt{3}$ となり条件を満たす．よって $k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となる．

(3) $\alpha=-\sqrt{3}$ ， $\beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ とおくと求める面積は
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)^3dx$ $=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta+\beta-\alpha)(\beta-x)^3dx$ $=(\beta-\alpha)\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)^3dx-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)^4dx$ $=\dfrac{1}{4}(\beta-\alpha)^5-\dfrac{1}{5}(\beta-\alpha)^5$ $=\dfrac{1}{20}(\beta-\alpha)^5$ $=\dfrac{1}{20}\left(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)^5$ $=\dfrac{256}{45\sqrt{3}}$
となる．