https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2024/Kouki

2024.12.09記

[3] $n$ は自然数とし， $z_0=1$ とする．さいころを $n$ 回投げて以下の規則により複素数 $z_1，z_2，…，z_n$ を定める．

(a) さいころを投げて $k$ 回目に奇数が出たとき $z_k=z_{k-1}$ とおく．

(b) さいころを投げて $k$ 回目に偶数 $2m$ （ $m=1，2，3$ ）が出たとき $z_k=i^m z_{k-1}$ とおく．ただし， $i$ は虚数単位とする．

以下の問いに答えよ．

(1) $z_n$ が正の実数となる確率を $P_n$ とおき， $z_n$ が負の実数となる確率を $Q_n$ とおく． $P_1，Q_1，P_2，Q_2$ bを求めよ．

(2) (1)で定めた $P_n$ と $Q_n$ を考える．すべての $n$ について $P_n+3Q_n=1$ が成立することを示せ．

(3) (1)で定めた $P_n$ を求めよ．（文章確認）

本問のテーマ

マルコフ過程

2024.10.04記
正四面体の各面をそれぞれ $1$ の面， $i$ の面， $-1$ の面， $-i$ の面とし，始めは $1$ の面が下にある．
確率 $1/2$ で四面体をそのままに，確率 $1/6$ ずつで隣りの面を下にすることを考えれば，
$P(z_n=i)=P(z_n=-1)=P(z_n=-i)$
であることはすぐにわかるだろう．

[解答]
状態は $1，i，-1，-i$ の4つあり，

「同じ状態のままである確率が $\dfrac{1}{2}$ であり，複素数が90度回転，180度回転，270度回転される確率はどれも $\dfrac{1}{6}$ であるから，他のどの状態に遷移する確率も $\dfrac{1}{6}$ で等しい．」…(★)

(2) $z_0=1$ と初期状態が $1$ であるから(★)により
$P(z_n=i)=P(z_n=-1)=P(z_n=-i)$
が成立する．よって $P_n+3Q_n=1$ となる．

(3) (★)により同じ状態のままである確率は $\dfrac{1}{2}$ であり，他の状態から戻ってくる確率は $\dfrac{1}{6}$ だから
$P_{n+1}=\dfrac{1}{2}P_n+\dfrac{1}{6}(1-P_n)=\dfrac{1}{3}P_n+\dfrac{1}{6}$
が成立する．よって $P_0=1$ より
$P_n=\dfrac{1}{4\cdot 3^{n-1}}+\dfrac{1}{4}$
となる．

(1) $P_n+3Q_n=1$ から $Q_n=-\dfrac{1}{4\cdot 3^{n}}+\dfrac{1}{4}$ となるので，(3)とから
$P_1=\dfrac{1}{2}$ ， $P_2=\dfrac{1}{3}$ ， $Q_1=\dfrac{1}{6}$ ， $P_2=\dfrac{2}{9}$ となる．