https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2024/Kouki

2024.12.09記

[2] $x$ を実数として，次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ を考える．
$a_{n+2}=xa_{n+1}-a_n$ ， $a_0=1$ ， $a_1=x$

(1) $x=2$ のとき，数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

(2) $x=-2$ のとき,数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

(3) $x$ を変数とみると，すべての自然数 $n=1，2，…$ について， $a_n(x)$ が $x$ に関する $n$ 次式であること，および $x^n$ の係数が $1$ であることを示せ．

(4) すべての自然数 $n=1，2，…$ について， $x$ に関する $n$ 次方程式 $a_n(x)=0$ は， $-2$ より大きく $2$ より小さい異なる $n$ 個の実数解をもち，これらの解は $a_{n+1}(x)=0$ の解と交互に並ぶことを示せ．

ここで，解が交互に並ぶとは， $a_n(x)=0$ の解を値が小さい順に $b_1，b_2，…，b_n$ と記述し， $a_{n+1}(x)=0$ の解を値が小さい順に $c_1，c_2，…，c_{n+1}$ と記述するとき，
$c_1\lt b_1\lt c_2\lt b_2\lt …\lt c_n\lt b_n\lt c_{n+1}$
となることを意味する．ただし， $n$ 次方程式 $f(x)=0$ は $n$ 個の解 $d_1，d_2，…，d_n$ をもち， $f(x)$ はある実数 $k$ を用いて
$f(x) = k(x -d_1)(x-d_2)…(x-d_n)$
と表せるという事実を用いてよい．

本問のテーマ

第2種チェビシェフ多項式

2024.10.03記
第2種チェビシェフ多項式 $U_0(x)$ は漸化式
$U_0(x)=1$ ， $U_1(x)=2x$ ， $U_{n+1}(x)=2xU_{n+1}(x)-U_{n+1}(x)$
をみたす．ここで $2x=u$ とおくと
$U_0\left(\dfrac{u}{2}\right)=1$ ， $U_1\left(\dfrac{u}{2}\right)=u$ ，
$U_{n+1}\left(\dfrac{u}{2}\right)=uU_{n+1}\left(\dfrac{u}{2}\right)-U_{n+1}\left(\dfrac{u}{2}\right)$
となるので，
$a_n(x)=U_n\left(\dfrac{x}{2}\right)$
である．よって
$a_n(2\cos\theta)=U_n(\cos\theta)$ $=\dfrac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$
となり， $a_n(x)=0$ ならば
$\sin(n+1)\theta=0$ かつ $\sin\theta\neq 0$
だから $a_n(x)=0$ の解は
$x=2\cos\dfrac{k}{n+1}\pi$ （ $k=1，2，\ldots，n$ ）
となる．

[解答]
(1) 特性方程式が $1$ で重解なので $a_n=An+B$ とかけ， $a_0=1$ ， $a_1=2$ より $a_n=n+1$ となる．

(2) 特性方程式が $-1$ で重解なので $a_n=(An+B)(-1)^n$ とかけ， $a_0=1$ ， $a_1=-2$ より $a_n=(n+1)(-1)^n$ となる．

(3) $n=1$ のとき $a_1=x$ より成立する．
$n=2$ のとき $a_2=x^2-1$ より成立する．
$n=k，k+1$ のときの成立を仮定すると
$a_k=x^k+(k-1次式)$ ， $a_{k+1}=x^{k+1}+(k次式)$
であるから
$a_{k+2}=x^{k+2}+(k+1次式)-x^k-(k-1次式)$
は $x^{k+2}$ の係数が1である $k+2$ 次式より
$n=k+2$ のときも成立する．よって数学的帰納法により全ての自然数 $n$ について成立する．

(4) $x=2\cos\theta$ とおくと
$a_0=1=\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta}$ ，
$a_1=2\cos\theta=\dfrac{\sin2\theta}{\sin\theta}$ ，
$a_2=4\cos^2\theta-1=3-4\sin^3\theta=\dfrac{\sin3\theta}{\sin\theta}$
だから， $a_n=\dfrac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ と予想できる．

$n=0，1$ のとき成立し，
$n=k，k+1$ の成立を仮定すると
$a_{k+2}=\dfrac{2\cos\theta\sin(k+2)\theta}{\sin\theta}-\dfrac{\sin(k+1)\theta}{\sin\theta}$ $=\dfrac{\sin(k+3)\theta+\sin(k+1)\theta}{\sin\theta}-\dfrac{\sin(k+1)\theta}{\sin\theta}$
$=\dfrac{\sin(k+3)\theta}{\sin\theta}$
により $n=k+2$ のときも成立するので，数学的帰納法により0以上の任意の整数に対して $a_n=\dfrac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ が成立する．

よって $a_n(x)=0$ ならば
$\sin(n+1)\theta=0$ かつ $\sin\theta\neq 0$
だから $a_n(x)=0$ の解は
$x=2\cos\dfrac{k}{n+1}\pi$ （ $k=1，2，\ldots，n$ ）
となる．ここで
$\dfrac{k}{n}\lt \dfrac{1}{1}$
により
$\dfrac{k}{n}\lt \dfrac{k+1}{n+1}\lt \dfrac{1}{1}$
に注意すると
$\dfrac{k}{n+1}\lt \dfrac{k}{n} \lt \dfrac{k+1}{n+1}$
が成立するので
$2\cos\dfrac{k+1}{n+1}\pi\lt2\cos\dfrac{k}{n}\pi\lt2\cos\dfrac{k}{n+1}\pi$
が成立し，よって解が交互に並ぶ
（これら $2\cos\theta$ が $-2$ と $2$ の間にあることは明らか）．

普通(4) は中間値の定理を使う．

[別解]
(4) $a_n(x)=0$ の $n$ 解を小さい順に
$\alpha_k^{(n)}$ （ $k=1，…n$ ）
とし， $\alpha_0^{(n)}=-2$ ， $\alpha_{n+1}^{(n)}=2$
とすると， $\alpha_k^{(n+1)}<\alpha_k^{(n)}\lt \alpha_{k+1}^{(n+1)}$ （ $k=0，…n$ ）
を帰納的に示せば良い．
$a_{n+2}(x)$ $=x\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(x-\alpha_k^{(n+1)})-\prod_{k=1}^{n}(x-\alpha_k^{(n)})$
であるから，
$a_{n+2}(\alpha_k^{(n+1)})$
$=-\prod_{k=1}^{n}(\alpha_k^{(n+1)}-\alpha_k^{(n)})$
$=(-1)^{k}\prod_{k=1}^{n}|\alpha_k^{(n+1)}-\alpha_k^{(n)}|$
となり，
$a_{n+2}(-2)=a_{n+2}(\alpha_0^{(n+1)})\gt 0$ ，
$a_{n+2}(\alpha_1^{(n+1)})\lt 0$ ，
$a_{n+2}(\alpha_2^{(n+1)})\gt 0$ ，
…，
となるので，中間値の定理により
$-2=\alpha_0^{(n+1)}$ $\lt\alpha_1^{(n+2)}$ $\lt\alpha_1^{(n+1)}$ $\lt\alpha_2^{(n+2)}$ $\lt\alpha_2^{(n+1)}$ $\lt \cdots$ $\lt\alpha_{n+1}^{(n+1)}$ $\lt\alpha_{n+2}^{(n+2)}$ $\lt\alpha_{n+2}^{(n+1)}=2$
となり題意が成り立つ．